Eigenfrequenz

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Eine Eigenfrequenz eines schwingfähigen Systems ist eine der mit der das System nach einmaliger Anregung kann (bei Vernachlässigung der Dämpfung). Wenn einem System von außen Schwingungen aufgezwungen werden deren mit einer der Eigenfrequenzen übereinstimmt reagiert das mit besonders großen Amplituden was man als Resonanz bezeichnet.

Praktisches Beispiel: Ein Gebäude kann bestimmte aufweisen. Wenn bei einem Nachbarn Musik durchaus leise läuft kann es vorkommen dass die mit einer Eigenfrequenz des Gebäudes gleichfrequent sind sich als lautes Wummern äußert ohne dass Musik als solche hörbar wäre.

Einfachstes Beispiel ist das Federpendel. Eine mit der Masse m hängt an einer mit der Federrate c das ist die pro Auslenkung mit der diese Feder reagiert. Kugel unterliegt dem Gesetz Masse * Beschleunigung Summe aller Kräfte die auf die Kugel Diese bestehen aus dem Gewicht nach unten aus die Federkraft nach oben. Die statischen in der Ruhelage sind für sich alleine der Summe Null also kann das Gewicht die statische Federkraft ignoriert werden. Übrig bleibt Abweichung von der statischen Federkraft als einzige die zu berücksichtigen ist. Diese Kraft zieht Kugel nach oben wenn diese sich unterhalb Ruhelage befindet und drückt die Kugel nach wenn diese sich oberhalb der Ruhelage befindet. ist Masse * Beschleunigung entgegengesetzt gleich dem der Auslenkung z(t) die mit der Zeit schwankt:

<math>

 m \frac{\partial^2 z(t)}{\partial z^2} = - z(t) \Rightarrow m \frac{\partial^2 z(t)}{\partial z^2} + z(t) = 0

</math> Diese lineare homogene Differenzialgleichung lässt mit folgendem Ansatz lösen:

<math>

 {z(t) = a \ \sin(\omega_0 t)\ }

</math> Wenn man den Ansatz in Differentialgleichung einsetzt ergibt sich

<math>

 (c - \omega_0^2 m) \sin(\omega_0 t) 0

</math> was nur dann für alle t gilt wenn der Koeffizient der Sinusfunktion sich alleine null ist.

<math>

 c - \omega_0^2 m = 0 \omega_0 = \sqrt{\frac{c}{m}}

</math> <math>{\omega_0 \ }</math> ist die Sie ist <math>{2 \pi\ }</math> mal so wie die Eigenfrequenz. Das Federpendel schwingt mit Periode <math>{2 \pi / \omega_0\ }</math>.

Wenn man die Feder an ihrem Ende mit dem Weg <math>{z_0\sin(\omega t)\ }</math> entspricht die Federkraft nicht mehr der gesamten der Kugel sondern nur noch der Differenz Auslenkung am gegenüberliegenden Ende der Feder. Die Gleichung geht damit über in

<math>

 m \frac{\partial^2 z(t)}{\partial z^2} = - (z(t) - z_0\sin(\omega t)) \Rightarrow m \frac{\partial^2 z^2} + c z(t) = c z_0 t)

</math> Die homogene Lösung entspricht dem beschriebenen Problem und stellt eine freie Schwingung der Eigenfrequenz dar deren Amplitude und Phasenlage den Anfangsbedingungen abhängt. Ihr überlagert sich als die erzwungene Schwingung

<math>

 z(t) = \frac{c/m}{c/m - \omega^2}\ z_0\ t) = \frac{\omega_0^2}{\omega_0^2 - \omega^2}\ z_0\ \sin(\omega = \frac{1}{1 - (\omega/\omega_0)^2}\ z_0\ \sin(\omega t)

</math> Die Amplituden werden im Resonanzfall \omega = \omega_0\ }</math> unendlich groß. Bei die hier nicht behandelt wird aber immer ist werden sie zwar nicht mehr unendlich aber immer noch größer als in jeder Frequenz. Die Eigenfrequenz(en) der meisten Systeme ändern infolge Dämpfung nur so geringfügig dass die Eigenfrequenzen von Interesse bleiben.

Systeme mit mehreren Freiheitsgraden werden in dazu mit einer Matrizengleichung beschrieben:

<math>

 [M] \frac{\partial^2 \{X\}}{\partial t^2} +[B] \frac{\partial t} + [C] \{X\} = \{F\}

</math>. Darin ist [M] die Massenmatrix die Dämpfungsmatrix [C] die Steifigkeitsmatrix und {F} Lastvektor. Eine Untersuchung der freien Schwingungen des Systems führt zum allgemeinen Eigenwertproblem

<math>

 {\ ([C] - \omega^2 [M])\{X\} = \ }

</math> Dies kann in ein spezielles umgerechnet werden wie unter " Eigenwert " beschrieben um die Eigenfrequenzen des Systems berechnen.

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