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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenDonnerstag, 23. Oktober 2014 

Eigenraum


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Eigenraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra . Er bezeichnet den von den Eigenvektoren zu einem bestimmten Eigenwert eines Endomorphismus aufgespannten Untervektorraum .

Definition

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und φ ∈ End(V). E( λ ) heißt dann der Eigenraum zum Eigenwert λ von φ.

<math> \begin{matrix} E(\lambda)&:=&Kern(\varphi - \lambda id_V) \ &

&\left\{ x \in V | \varphi (x)

\lambda x \right\} \end{matrix} </math>

Man sagt dann auch E(λ) ⊂ V ist invariant bezüglich des φ oder E(λ) ist ein φ-invarianter Untervektorraum von V . Die Elemente x von E( λ ) sind dann die Eigenvektoren zum Eigenwert λ von φ. Die Dimension des Eigenraums E( λ ) ist dabei stets ≥ 1 und der algebraischen Vielfachheit von λ und wird als geometrische Vielfachheit von λ bezeichnet.

Existiert ein Eigenwert λ = 0 von φ so ist zugehörige Eigenraum E( λ ) gleich dem Kern von φ. Denn Kern(φ) = { x ∈ V | φ( x ) = 0} und nach Definition des E(0) = { x ∈ V | φ( x ) = 0 x = 0}.

Die Summe von Eigenräumen E( λ ) zu n verschiedenen Eigenwerten λ ist direkt:

<math> \cap_{i=1}^n E(\lambda _i) = 0 V \supseteq W = E(\lambda _1) \oplus \oplus E(\lambda _n) </math>

Gilt im obigen Fall V = so besitzt V eine Basis aus Eigenvektoren. In diesem Fall ist Matrix A von φ ∈ End(V) bezüglich Basis von V diagonalisierbar das heißt die A´ von φ bezüglich der Basis von V aus Eigenvektoren hat Diagonalgestalt. In der Hauptdiagonalen von stehen dann die Eigenwerte λ :

<math> A'= \begin{pmatrix} \lambda _1 & & \cdots & 0 \\ 0 & & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 \\ 0 & & 0 & \lambda_n \end{pmatrix} </math>

siehe auch:



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