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Eigenvektor


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Die Begriffe Eigenwert und Eigenvektor treten immer gemeinsam in der Linearen Algebra auf. Die im folgenden beschriebene mathematische nennt sich spezielles Eigenwertproblem .

Eigenvektoren eines linearen Operators (etwa durch eine Matrix dargestellt) sind Vektoren auf welche die des Operators (etwa die Multiplikation mit der Matrix) ein skalares Vielfaches ihrer selbst ergeben. Der Nullvektor definitionsgemäß nicht ein Eigenvektor sein. Den entsprechenden nennt man Eigenwert .

Ist A eine (n n)-Matrix so <math>\vec x</math> ein Eigenvektor zum Eigenwert λ gilt:

<math>A\cdot \vec x = \lambda \cdot x</math>

Berechnung der Eigenwerte

Die Eigenwerte lassen sich durch Lösung Gleichung bestimmen wobei |M| die Determinante einer (n n)-Matrix M und E Einheitsmatrix bezeichnet:

<math>|A-\lambda \cdot E | = 0</math>

Die Auflösung der Determinante liefert ein Polynom n. Grades in λ die charakteristische Gleichung . Deren Auflösung liefert die n Eigenwerte 1 ... λ n .

<math>\alpha_n \lambda^n + \alpha_{n-1} \lambda^{n-1} + + \alpha_1 \lambda + \alpha_0 = 0</math>

Gleiche Eigenwerte fasst man zusammen so sich k (≤ n) Eigenwerte λ 1 ... λ k mit ihren Vielfachheiten v i ergeben.

Kennt man die Eigenwerte und ihre kann man die Jordansche Normalform der Matrix erstellen.

Eigenwerte können auch komplex sein.

Berechnung der Eigenvektoren

Für einen Eigenwert λ lassen sich Eigenvektoren aus der Gleichung

<math>(A-\lambda \cdot E) \cdot\vec e =

bestimmen. Die Eigenvektoren spannen einen Raum auf dessen Dimension der Vielfachheit des entspricht. Für einen Eigenwert λ der Vielfachheit lassen sich also Eigenvektoren e 1 ... e v finden so dass sich die Menge Eigenvektoren zu λ gleich der Menge der Linearkombinationen von e 1 ... e v ist. e 1 ... e v heißt dann Basis von Eigenvektoren zum Eigenwert λ .

Praktische Beispiele

Durch Lösung eines Eigenwertproblems berechnet man

  • Eigenfrequenzen Eigenformen und ggf. auch Dämpfungscharakteristik eines Systems
  • Knicklast eines Knickstabs
  • Beulversagen eines leeren Rohres unter Außendruck
  • Hauptspannungen in der Festigkeitslehre: Umrechnung der Spannungen ein Kordinatensystem in dem es keine Schubspannungen
  • Hauptträgheitsachsen eines unsymmetrischen Querschnitts um einen Balken (Träger o.dgl.) in diesen beiden Richtungen voneinander zu berechnen
  • vielfältige andere technische Problemstellungen die mit der anders definierten Stabilität eines Systems zu tun haben.

Insbesondere an deutschen Hochschulen kursiert die Anekdote das englische eigenvector wurde auf Grund der Annahme aus Deutschen übernommen dass der Eigenvektor nach Manfred Eigen benannt wurde. Dies ist aber offensichtlich da Eigen beim ersten Auftauchen des Begriffes Englischen noch nicht sehr bekannt war und auch in keiner Weise um den Eigenvektor gemacht hat.



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