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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenDonnerstag, 21. August 2014 

Einheit (Mathematik)


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In der Mathematik versteht man unter einer Einheit in einem kommutativen unitären Ring (Ring mit 1) ( R + * 0 1) jeden Teiler von 1 (dem neutralen Element der Multiplikation ).

Wenn also für spezielle a b R gilt: a * b = 1 so nennt man a und b Einheiten.

Die Menge der Einheiten R * := { x | ∃ y : x * y = 1 } ist mit der eine Gruppe.

Beispiele

  • 1 ist immer eine Einheit (weil
  • 0 ist nie eine Einheit (außer 1=0 aber dann hat der Ring nur eine Element und ist uninteressant.)
  • In einem Körper ist R * = R \ {0} also außer der 0 Element eine Einheit.
  • Im Ring der ganzen Zahlen gibt es nur die Einheiten 1 -1.
  • Im Ring Z [ i ] der ganzen gaußschen Zahlen gibt es die vier Einheiten 1 i - i .

Der nichtkommutative Fall

Ist der unitäre Ring R nicht kommutativ dann benötigt man Begriffe einseitige Einheiten.

  • Ein Element a das die Bedingung ab = 1 für ein Element b erfüllt heißt Linkseinheit .
  • Ein Element a das die Bedingung ba = 1 für ein Element b erfüllt heißt Rechtseinheit .
  • Ein Element a heißt Einheit falls es sowohl ein Element b gibt mit ab = 1 und ein Element c mit ca = 1.
In einem kommutativen Ring stimmen die Begriffe überein.

Es gibt aber z.B. den folgenden R in dem es eine Linkseinheit A gibt die keine Rechtseinheit ist und Rechtseinheit B die keine Linkseinheit ist. Außerdem sind A und B noch einseitige Nullteiler .

R bestehe aus allen Matrizen der Größe "abzählbar-mal-abzählbar" mit Komponenten in reellen Zahlen bei denen in jeder Zeile und jeder Spalte nur endlich viele Nicht-Nullen stehen dürfen dabei unendlich viele Nicht-Nullen enthalten sein). R ist ein Ring mit der gewöhnlichen und -Multiplikation. Die Einheitsmatrix E hat nur Einsen auf der Hauptdiagonalen sonst Nullen sie ist das Einselement von R (das neutrale Element der Multiplikation).

A sei die Matrix in R die in der ersten oberen Nebendiagonalen Einsen hat und sonst nur Nullen:

<math>A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 &0&0&\\ & 0 & 1 &0&0&\cdots\\ 0 & & 0 &1&0&\\ 0&0&0&0&1&\\ &\vdots&&&\ddots&\ddots \end{pmatrix}</math>

B sei die Transponierte von A also die Matrix die in der Diagonalen unterhalb der Hauptdiagonalen nur Einsen hat sonst nur Nullen.

Es ist AB = E also ist A eine Linkseinheit und B eine Rechtseinheit. Für jedes Element C von R hat aber das Produkt CA in der ersten Spalte nur Nullen das Produkt BC in der ersten Zeile nur Nullen. kann A keine Rechtseinheit und B keine Linkseinheit sein. Mit der Matrix D die nur in der Komponente D 1 1 eine Eins und sonst nur Nullen ist AD = 0 und DB = 0 also ist A ein Links nullteiler und B ein Rechtsnullteiler.




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