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Einheitsvektor


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In der linearen Algebra ist ein Einheitsvektor oder normierter Vektor ein Vektor mit der Norm (anschaulich: der Länge ) Eins. Einheitsvektoren gibt es also nur einem normierten Vektorraum .

Einen gegebenen vom Nullvektor verschiedenen Vektor kann man normieren indem man ihn durch seine Norm Betrag) dividiert:

<math>\vec{n} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}</math>
Dieser Vektor ist der Einheitsvektor der dieselbe Richtung wie <math>\vec{v}</math> zeigt. Er spielt eine Rolle beim Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren .

Die Elemente einer Basis (= Basisvektoren) werden oft als Einheitsvektoren denn durch die Verwendung von Einheitsvektoren werden Rechnungen vereinfacht. Zum Beispiel ist in einem euklidischen Raum das Skalarprodukt zweier Einheitsvektor genau der Winkel zwischen beiden.

In den reellen Vektorräumen R n wählt man als Basisvektoren oft die genannten kanonischen Einheitsvektoren die allgemein diese Form haben:

<math>e_i = \begin{pmatrix}
0 & \dots & 0 & & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}</math> die 1 an der i-ten Stelle des steht und sonst Nullen sind. Der Index läuft dabei von 1 bis n.

Fasst man die kanonischen Einheitsvektoren zu Matrix zusammen erhält man eine Einheitsmatrix .

Im dreidimensionalen Vektorraum R 3 hat man also die drei kanonischen

<math>
\mathbf{i} = e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \quad = e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \quad \mathbf{k} = = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} </math>

Die Menge der kanonischen Einheitsvektoren des R n bildet bezüglich dem kanonischen Skalarprodukt eine Orthonormalbasis d.h. je zwei kanonische Einheitsvektoren stehen aufeinander (="ortho") alle sind normiert (="normal") und bilden eine Basis.

In unendlichdimensionalen unitären Vektorräumen (= VR mit Skalarprodukt) bilden sie noch ein Orthonormalsystem aber nicht notwendig eine Basis . In Hilberträumen gelingt es jedoch durch Zulassung unendlicher jeden Vektor des Raumes darzustellen man spricht weiter von einer Orthonormalbasis .

Siehe auch: Kartesisches Koordinatensystem



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