Studium, Ausbildung und Beruf

web uni-protokolle.de
 powered by
NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenMittwoch, 17. September 2014 

Element (Mathematik)


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.
Ein Element in der Mathematik ist immer im Rahmen der Mengenlehre zu verstehen. Die grundlegende Relation wenn x ein Element und M eine Menge sind lautet:
x ist Element von M
oder im Formalismus der Mathematik
<math>x \in \mathbb{M}</math>.
Ein Element bezeichnet also genau ein aus einer Menge.

Die Mengendefinition von Georg Cantor beschreibt anschaulich was unter einem Element Zusammenhang mit einer Menge zu verstehen ist:

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unsere Anschauung oder unseres Denkes zu Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente der Menge.

Diese anschauliche (oder naive) Mengenauffassung erwies als nicht widerspruchsfrei. Heute wird die axiomatische ( Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ) benutzt.

Inhaltsverzeichnis

Beispiele

Einfache Beispiele

Beispiele von Elementen lassen sich offensichtlich mit Bezug auf die sie enthaltende Menge In der Mathematik bieten Zahlenmengen geeignete Beispiele:

<math>5 \in \mathbb{N} </math>
5 ist ein Element der natürlichen Zahlen
<math> {2 \over 4} \in \mathbb{Q}</math>
3/4 ist ein Element der rationalen Zahlen
<math> \sqrt{2} \in \mathbb{R}</math>
die Quadratwurzel aus 2 ist ein der reellen Zahlen

Spezielle Beispiele

In einigen Teildisziplinen der Mathematik treten Typen von Elementen immer wieder auf. Diese Elemente haben dann feste Namen.

In der Gruppentheorie treten spezielle Mengen auf deren Elemente verknüpft werden. Bei einer solchen Verknüpfung entsteht wieder ein Element der Menge. Es muss Gründen der Definition einer Gruppe immer ein Element geben das bei Verknüpfung mit einem anderen Element jenes nicht verändert. Dieses spezielle wird als neutrales Element bezeichnet.

Daneben muss aufgrund der Definition der auch zu jedem Element der Gruppe ein Gegenstück existieren welches unter Verknüpfung gerade das Element ergibt. Dieses Gegenstück wird als inverses Element (zu einem gegebenen Element) bezeichnet.

Innerhalb der ganzen Zahlen ist die Null ein neutrales Element bezüglich der Addition. Wenn man zu beliebigen Zahl x die Null addiert erhält man wiederum x :

<math>\begin{matrix}{x + 0 = x}\end{matrix}</math>
Und entsprechend ist zu einer ganzen x die Zahl -x das inverse Element :
<math>\begin{matrix}{x + -x = 0}\end{matrix}</math>

Innerhalb der reellen Zahlen ist die 1 das neutrale Element bezüglich der Multiplikation . Wenn man eine beliebige reelle Zahl x mit der 1 multipliziert erhält man x :

<math>x \cdot 1 = x</math>
Entsprechend ist zu einer reellen Zahl x der Kehrwert 1/x das inverse Element der Multiplikation:
<math>x \cdot {1\over x} = 1

Kompliziertere Beispiele

Das Konzept des Elementes und der kann auch komplizierter sein. Etwa kann eine T Elemente enthalten die selbst Mengen sind. kann durchaus die Menge T als eine Menge definieren die die genannten Mengen ( N natürliche Zahlen Q rationale Zahlen und R reelle Zahlen) als ihre drei Elemente <math>\mathbb{T}=\begin{Bmatrix}\mathbb{N} &\mathbb{Q} &\mathbb{R}\end{Bmatrix}</math> Dann wäre die Aussage

<math>\mathbb{N}\in\mathbb{T}</math>
Die Menge der natürlichen Zahlen ist Element der Menge T .




Bücher zum Thema Element (Mathematik)

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.

ImpressumLesezeichen setzenSeite versendenSeite drucken

HTML-Code zum Verweis auf diese Seite:
<a href="http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Element_(Mathematik).html">Element (Mathematik) </a>