Element (Mathematik)

x ist Element von M

<math>x \in \mathbb{M}</math>.

Die Mengendefinition von Georg Cantor beschreibt anschaulich was unter einem Element Zusammenhang mit einer Menge zu verstehen ist:

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unsere Anschauung oder unseres Denkes zu Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente der Menge.

Diese anschauliche (oder naive) Mengenauffassung erwies als nicht widerspruchsfrei. Heute wird die axiomatische ( Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ) benutzt.

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele 1.1 Einfache Beispiele 1.2 Spezielle Beispiele 1.3 Kompliziertere Beispiele

Beispiele

Einfache Beispiele

Beispiele von Elementen lassen sich offensichtlich mit Bezug auf die sie enthaltende Menge In der Mathematik bieten Zahlenmengen geeignete Beispiele:

<math>5 \in \mathbb{N} </math>

5 ist ein Element der natürlichen Zahlen

<math> {2 \over 4} \in \mathbb{Q}</math>

3/4 ist ein Element der rationalen Zahlen

<math> \sqrt{2} \in \mathbb{R}</math>

die Quadratwurzel aus 2 ist ein der reellen Zahlen

Spezielle Beispiele

In einigen Teildisziplinen der Mathematik treten Typen von Elementen immer wieder auf. Diese Elemente haben dann feste Namen.

In der Gruppentheorie treten spezielle Mengen auf deren Elemente verknüpft werden. Bei einer solchen Verknüpfung entsteht wieder ein Element der Menge. Es muss Gründen der Definition einer Gruppe immer ein Element geben das bei Verknüpfung mit einem anderen Element jenes nicht verändert. Dieses spezielle wird als neutrales Element bezeichnet.

Daneben muss aufgrund der Definition der auch zu jedem Element der Gruppe ein Gegenstück existieren welches unter Verknüpfung gerade das Element ergibt. Dieses Gegenstück wird als inverses Element (zu einem gegebenen Element) bezeichnet.

Innerhalb der ganzen Zahlen ist die Null ein neutrales Element bezüglich der Addition. Wenn man zu beliebigen Zahl x die Null addiert erhält man wiederum x :

<math>\begin{matrix}{x + 0 = x}\end{matrix}</math>

<math>\begin{matrix}{x + -x = 0}\end{matrix}</math>

Innerhalb der reellen Zahlen ist die 1 das neutrale Element bezüglich der Multiplikation . Wenn man eine beliebige reelle Zahl x mit der 1 multipliziert erhält man x :

<math>x \cdot 1 = x</math>

<math>x \cdot {1\over x} = 1

Kompliziertere Beispiele

Das Konzept des Elementes und der kann auch komplizierter sein. Etwa kann eine T Elemente enthalten die selbst Mengen sind. kann durchaus die Menge T als eine Menge definieren die die genannten Mengen ( N natürliche Zahlen Q rationale Zahlen und R reelle Zahlen) als ihre drei Elemente <math>\mathbb{T}=\begin{Bmatrix}\mathbb{N} &\mathbb{Q} &\mathbb{R}\end{Bmatrix}</math> Dann wäre die Aussage

<math>\mathbb{N}\in\mathbb{T}</math>

Die Menge der natürlichen Zahlen ist Element der Menge T .

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