Elementare Algebra

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Die Elementare Algebra ist die grundlegende Form der Algebra die man in der Schule lernt. in der Arithmetik nur reelle Zahlen und ihre Verknüpfungen gibt es in der Algebra auch Symbole Buchstaben wie a i j x y ) die Zahlen bezeichnen.

Dies ist nützlich denn

es erlaubt die Formulierung allgemeingültiger arithmetischer (z.B. a + b = b + a für alle a und b ) und dient so der systematischen Erkundung Eigenschaften des Systems der reellen Zahlen
es erlaubt über "unbekannte" Zahlen zu und so Gleichungen aufzustellen und ihre Lösungsmöglichkeiten untersuchen (z.B. "finde die Zahl x mit 3 x + 2 = 10")
es erlaubt die Beschreibung funktionaler Abhängigkeiten "wenn du x Eintrittskarten verkaufst dann machst du einen von 3 x - 10€").

Diese drei sind die Hauptziele der Algebra. Davon zu unterscheiden ist die abstrakte Algebra ein Teilgebiet der Mathematik das man erst im Studium kennenlernt auch davon nur einen kleinen Teil wenn nicht gerade Mathematik Physik oder ähnliches studiert).

In der Algebra besteht ein Ausdruck aus Zahlen Variablen und arithmetischen Operationen a + 3 x ² - 4. Eine Gleichung besteht aus zwei Ausdrücken die durch Gleichheitszeichen verbunden sind. Manche Gleichungen sind erfüllt alle Werte der beteiligten Variablen (wie z.B. a +( b + c ) = ( a + b )+ c ) diese nennt man Identitäten . Andere Gleichungen sind nicht für jeden Wert der Variablen erfüllt und wir sind den Werten interessiert für die die Gleichung ist - den Lösungen der Gleichung. Z.B. ist die Gleichung x ² - 4 = 0 nur für Werte 2 und -2 von x erfüllt.

Wie in der Arithmetik ist es in der Algebra wichtig genau zu wissen mathematische Ausdrücke interpretiert werden. Dies wird von Vorrangregeln der Operationen bestimmt (z.B. "Punkt- vor Klammern zuerst ausrechnen).

Es ist auch nötig Ausdrücke vereinfachen können. Zum Beispiel kann der Ausdruck

-4(2 a + 3) - a

auch geschrieben werden als

-9 a -12

Die Gleichungen die am einfachsten zu sind sind lineare Gleichungen wie z.B.

2 x + 3 = 10

Die Lösungstechnik besteht hier darin beide der Gleichung mit derselben Zahl zu addieren multiplizieren oder dividieren bis die Variable x auf einer Seite allein steht. Im Beispiel subtrahieren wir 3 von beiden Seiten erhalten

2 x = 7

dann teilen wir beide Seiten durch und erhalten die Gleichung

x = 7/2

an der man die Lösung 7/2 kann.

Gleichungen wie

x ² + 3 x = 5

nennt man quadratische Gleichung und kann sie mittels quadratischer Ergänzung der so genannten pq-Formel lösen (siehe dazu Quadratische Ergänzung ).

Gleichungen können viele Variablen enthalten und manche kann man eindeutige Werte bestimmen für nicht. Zum Beispiel:

( x - 1) * ( x - 1) = y * 0

Nach ein paar Umformungen können wir dass x = 1 sein muss aber y kann jeden Wert annehmen und die ist erfüllt solange nur x den Wert 1 hat.

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