Endlicher Körper

Inhaltsverzeichnis

1 Definition 2 Darstellung 3 Beispiele 3.1 Charakteristik 2 3.2 Charakteristik 3 4 Eigenschaften 5 Anwendungen

Definition

In der Algebra ist ein endlicher Körper oder Galoisfeld (benannt nach dem Mathematiker Evariste Galois ) ein Körper mit nur endlich vielen Elementen. Endliche spielen eine wichtige Rolle in der Kryptographie und der Kodierungstheorie.

Darstellung

Da jeder Körper der Charakteristik 0 unendlich ist haben alle endlichen eine Primzahlcharakteristik.

Ist p eine Primzahl dann bildet der Restklassenring Z / p Z einen Körper der mit F _p oder GF ( p ) bezeichnet wird. Jeder andere Körper mit p Elementen ist isomorph zu diesem.

Ist q = p ⁿ eine Primzahlpotenz dann gibt es bis Isomorphie genau einen Körper mit genau q Elementen. Er wird mit F _q oder GF ( q ) = GF ( p ⁿ ) bezeichnet. Man kann ihn so konstruieren : Finde ein irreduzibles Polynom f vom Grad n mit Koeffizienten in GF ( p ) und setze GF ( q ) := GF ( p )[ T ]/( f ). GF ( p )[ T ] bezeichnet dabei den Polynomring in der Variablen T über dem Körper GF ( p ) und GF ( q ) ist sein Faktorring modulo f . Das Polynom f kann man finden indem man das T ^q - T über GF ( p ) faktorisiert.

Ist K irgendein endlicher Körper der Charakteristik p dann enthält er GF ( p ) als Teilkörper und ist ein Vektorraum über diesem Körper. Deshalb hat K als Mächtigkeit eine Potenz von p . Es gibt also außer den genannten anderen endlichen Körper.

Beispiele

Charakteristik 2

Der Restklassenring der ganzen Zahlen modulo ist ein als GF (2) oder F ₂ bezeichneter Körper mit genau 2 Elementen als 0 und 1 bezeichnet werden. Er "Restklassenkörper modulo 2". Man darf seine Elemente verwechseln mit den ganzen Zahlen 0 und denn in diesem Körper gilt 1+1=0. Die sehen so aus:

Addition:

+	0	1
0	0	1
1	1	0

Multiplikation:

*	0	1
0	0	0
1	0	1

Das Polynom f = T ² + T +1 ist irreduzibel über GF (2). Der Körper GF (4) = GF (2)[ T ]/( f ) kann daher als die Menge {0 t t +1} beschrieben werden mit Rechenregeln die sich 1+1=0 und t ² + t +1=0 ergeben. Zum Beispiel ist t * t = - t -1 = t +1. Es ist t ³ = t *( t +1) = t ² + t = 2 t +1 = 1. Es ist also 1/ t = t +1 denn eben haben wir t *( t +1) = 1 ausgerechnet.

Man beachte dass der Körper GF (4) nichts mit dem Restklassenring Z /4 Z zu tun hat in dem z.B. ungleich 0 ist und der den Nullteiler 2 enthält (2*2=0 modulo 4).

Der nächstgrößere Oberkörper von GF (2) ist GF (8) der z.B. vom Polynom T ³ +T+1 erzeugt wird also GF (8)= GF (2)[ T ]/( T ³ +T+1 ). Seine Elemente sind {0 1 t t +1 t ² t ² +1 t ² + t t ² + t +1} mit t ³ = t +1. Dieser Körper ist aber kein Oberkörper GF (4) weil seine Mächtigkeit keine Potenz von ist.

Charakteristik 3

Der "Restklassenkörper modulo 3" GF (3) = Z /3 Z = {0 1 2} hat diese

Addition:

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

Multiplikation:

*	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	1

Die ersten Oberkörper von GF (3) = Z /3 Z können so dargestellt werden:

GF (9) = GF (3)[ T ]/( T ² +1)

GF (27) = GF (3)[ T ]/( T ³ +2 T +1).

Eigenschaften

Ist K ein endlicher Körper mit q = p ⁿ Elementen (und p prim) dann ist x ^q = x für alle Elemente x von K . Der Frobenius-Homorphismus f : K -> K f ( x ) = x ^p ist bijektiv also ein Automorphismus . Dieser Automorphismus hat die Ordnung n und erzeugt die Automorphismengruppe von K die deshalb zyklisch ist.

Der Körper GF ( p ^m ) enthält GF ( p ⁿ ) genau dann wenn n ein Teiler von m ist.

Ist nämlich L = GF ( p ^m ) ein Oberkörper von K = GF ( p ⁿ ) dann ist L auch ein Vektorraum über K deshalb muss p ^m eine Potenz von p ⁿ sein und darum ist m ein Vielfaches von n . Ist umgekehrt n ein Teiler von m dann gibt es ein irreduzibles Polynom f vom Grad m / n über K und der Körper K [ T ]/( f ) stimmt mit L überein also ist K ein Teilkörper von L .

Die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers ist zyklisch (wie endliche multiplikative Untergruppe eines Körpers). Ist also K ein Körper mit q Elementen dann gibt es ein Element x in K \{0} so dass K \{0} = {1 x x ² ... x ^q-2 }. Dieses Element x (ein so genannter Erzeuger der multiplikativen Gruppe K \{0}) ist dabei nicht eindeutig festgelegt.

Anwendungen

Wenn wir einen Erzeuger x der multiplikativen Gruppe von K = GF ( p ^k ) festhalten dann gibt es für jedes a ungleich 0 aus K eine eindeutig bestimmte Zahl n aus {0 1 ... q -2} mit a = x ⁿ . Die Zahl n heißt diskreter Logarithmus von a zur Basis x . Obwohl man x ⁿ für jedes n relativ leicht berechnen kann ist die zu gegebenem a den diskreten Logarithmus n zu finden nach dem gegenwärtigen Wissensstand große Zahlen p und k ein extrem rechenaufwendiger Vorgang. Deshalb findet diskrete Logarithmus Anwendung in der Kryptographie .

Endliche Körper werden auch in der benutzt: Viele Kodes sind Teilräume von endlichdimensionalen Vektorräumen über endlichen Körpern.

Bücher zum Thema Endlicher Körper

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.