Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier. Das Erlanger Programm bezeichnet die von Felix Klein in seiner Antrittsvorlesung 1872 in Erlangen entwickelte Auffassung einer systematischen Klassifikation geometrischer die von der Vorstellung ausgeht dass die die Eigenschaften von Figuren untersucht die bei erhalten bleiben und daher eine Klassifizierung mittels jeweils betrachteten möglichen Lageänderungen d.h. der zugelassenen Transformationen anstrebt.
Bei jeder der sich so ergebenden bilden die zugehörigen Transformationen bezüglich ihrer Hintereinanderausführung Gruppe die Transformationsgruppe der Geometrie. Die in betreffenden Geometrie untersuchten Eigenschaften bleiben bezüglich aller der Transformationsgruppe invariant.
Die elementare euklidische Geometrie oder Kongruenzgeometrie ist Geometrie des Anschauungsraumes deren Transformationsgruppe die Gruppe Bewegungen der Translationen Drehungen oder Spiegelungen ist die alle längen- und winkeltreue sind.
Verzichtet man bei den zugelassenen Transformationen auf Längentreue und lässt auch Punktstreckungen zu so man die äquiforme Gruppe der Transformationen die Ähnlichkeits- oder äquiforme Geometrie kennzeichnet.
Verzichtet man auch auf die Winkelteue so man zur Transformationsgruppe der bei Koordinatendarstellung linearen d.h. der Kollineationen die das Teilverhältnis je Punkte erhalten. Sie kennzeichnen die affine Geometrie .
Fügt man schließlich zum Anschauungsraum noch unendlich oder uneigentliche Punkte als Schnittpunkte von Parallelen so lassen die Kollineationen in diesem Raum Doppelverhältnis von je vier Punkten invariant und die Gruppe der projektiven Transformationen deren zugehörige die projektive Geometrie ist.
Außer den bisher genannten klassischen Geometrien die durch Einschränkung der Transformationsgruppe aus der projektiven hervorgehen kann man auf diese Art von projektiven Geometrie auch zur elliptischen und zur Geometrie gelangen d.h. die nichteuklidischen Geometrien lassen sich auch nach dem Erlanger klassifizieren. Allerdings reicht das Erlanger Programm nicht für eine vollständige Klassifizierung aller Geometrien: zum kann die der allgemeinen Relativitätstheorie zugrunde liegende Riemannsche Geometrie durch diese nicht erfasst werden (Liesche Gruppen).
