Erwartungswert

Inhaltsverzeichnis

1 Definition 2 Beispiel 3 Rechenregeln 3.1 Erwartungswert von Summen 3.2 Lineare Transformation 3.3 Erwartungswert von Produkten 4 Siehe auch

Definition

<math>E(X)=\sum_{i} x_i p_i</math>

Er ist das erste Moment um Null.

Bei einer kontinuierlichen Zufallsvariable ist der Erwartungswert über das Integral bestimmt. Hat die Zufallsvariable X eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f ( x ) so ist der Erwartungswert

<math>E(X)=\int_{-\infty}^\infty x f(x)dx.</math>

Die Erwartungswerte <math>E[X^k]</math> der Potenzen einer nennt man Moment der Ordnung <math>k</math>.

Beispiel

Das Experiment sei das Würfeln mit einem Würfel. Die Zufallsvariable X die gewürfelte Augenzahl. Die Wahrscheinlichkeiten p _i eine der Zahlen 1 ... 6 würfeln sind jeweils 1/6.

<math>E(X)=\sum_{i=1}^6 i\cdot 1/6 = 3 5</math>

Wann man also 1000 Mal würfelt geworfenen Augenzahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in Nähe von 3 5. Bei einem einzigen wird man aber nie 3 5 erhalten.

Rechenregeln

Erwartungswert von Summen

<math>E(\sum_{i=i}^nx_i)=\sum_{i=i}^nE(x_i)</math>

Lineare Transformation

<math>E(kx+d)=kE(x)+d</math>

Insbesondere:

<math>E(cx)=cE(x)</math>

Erwartungswert von Produkten

<math>E(xy)=E(x)E(y)+cov(x y)</math>

Siehe auch

• Gesetz der großen Zahlen
• Parameter (Statistik)
• Moment (Statistik)

Bücher zum Thema Erwartungswert

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