Euklidische Geometrie

Die Euklidische Geometrie in d Dimensionen kann auf zwei Arten eingeführt

• über ein System von Axiomen die Zusammenhänge Punkten Geraden Ebenen und so weiter (bis Hyperebenen der Dimension d -1) beschreiben oder
• algebraisch als der Raum R ^d .

Zur algebraischen Formulierung der Euklidischen Geometrie siehe Artikel Euklidischer Raum und Analytische Geometrie . In diesem Artikel konzentrieren wir uns den axiomatischen Zugang zur Geometrie.

Die Axiome (Postulate) des Euklid

Über zweitausend Jahre lang wurde Geometrie axiomatischen Aufbau des Euklid gelehrt. Näheres dazu im Artikel über sein Buch Die Elemente .

Grundelemente der euklidischen Geometrie der Ebene Punkte und Geraden welche Punkte verbinden. Geraden wiederum schneiden in Punkten. Aus diesen Grundelementen entsteht eine Geometrie in der u.a. Dreiecke Vierecke n-Ecke Winkel und Kreise enthalten sind.

Die fünf Euklidischen Axiome der Geometrie

1. Man kann eine gerade Strecke von Punkt zu einem anderen Punkt ziehen.
2. Man kann eine Strecke kontinuierlich zu Strahl verlängern.
3. Um jeden Punkt kann man einen beliebigen Radiuses schlagen.
4. Alle rechten Winkel sind einander gleich.
5. ( Parallelenaxiom ): Wenn eine Strecke zwei andere Strecken schneidet so dass die beiden inneren Schnittwinkel der einen Seite zusammen kleiner als zwei Winkel sind dann schneiden sich die beiden wenn sie weit genug verlängert werden auf Seite auf der die Schnittwinkel zusammen kleiner zwei rechte Winkel sind.

Seit der Antike wurde versucht das erscheinende Parallelenaxiom aus den übrigen Axiomen herzuleiten. Erst 19. Jahrhundert entdeckten Carl Friedrich Gauß János Bolyai und Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski unabhängig von einander die nichteuklidische und die absolute Geometrie . Erstere ersetzt das Parallelenaxiom durch andere letztere arbeitet ganz ohne das Konzept von

Analog entwickelte Leonard Euler die Affine Geometrie durch Herauslassen des 3. und 4. welche in der Speziellen Relativitätstheorie ( Minkowskiraum ) wichtig ist.

Eine minimale Geometrie entsteht wenn man das 1. und 2. Axiom verwendet. Die entstehende Geordnete Geometrie ist von Interesse da ihre Sätze allen oben genannten Geometrien wahr sind.

Moderne Axiomensysteme

Gegen Ende des 19ten Jahrhunderts wurde Axiomensystem des Euklid zum Vorbild für den Aufbau der gesamten Mathematik. Dabei wurde erkannt das Euklidische System lückenhaft ist: um die "Euklidische" Geometrie zu erhalten muss man zusätzliche einführen (z.B. das Axiom von Pasch ).

Unter den modernen Axiomensystemen ist das David Hilbert am bekanntesten geworden (Grundlagen der Geometrie 1900 [?] zahlreiche Neuauflagen). Die Axiomgruppen nach sind:

1. Axiome der Verknüpfung ( Indizenz )
2. Axiome der Anordnung
3. Axiome der Deckungsgleichheit ( Kongruenz )
4. Axiom der Parallelen ( Parallelenaxiom )
5. Axiome der Stetigkeit ( Archimedisches Axiom )

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