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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenFreitag, 22. August 2014 

Euklidischer Ring


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Euklidischer Ring ist ein Fachbegriff aus der Mathematik .

Ein kommutativer nullteilerfreier Ring <math>R</math> ( Integritätsbereich ) heißt euklidischer Ring falls eine Abbildung <math>g:R\backslash\{0\}\to \mathbb{N}</math> existiert dass es für zwei Elemente <math>x y R</math> mit <math> y \neq 0</math> Elemente r \in R</math> gibt mit <math>x = + r</math> wobei entweder <math>r=0</math> oder <math>g(r) g(y)</math> ist. Die Abbildung <math>g</math> heißt dabei euklidische Normfunktion (euklidischer Betrag).

Vereinfacht gesagt ermöglicht ein euklidischer Ring eine Division mit Rest und dadurch einen [euklidischer Algorithmus|euklidischen Algorithmus]] Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier Ringelemente. Von dieser Eigenschaft der Name abgeleitet.

Die obenstehende Definition ist äquivalent zur Definition die ebenfalls häufig verwendet wird:

Definition2:
Ein Integritätsbereich R heißt euklidischer Ring eine Abbildung <math>g:R\to\mathbb{N}</math> existiert so dass <math>g(0)=0</math> und für alle <math>y \in R\backslash \{0\}</math> \in R</math> Elemente <math>q r\in R</math> existieren dass <math>x=qy+r</math> gilt und <math>g(r)<g(y)</math> ist.

Es lässt sich zeigen dass jeder Ring eine minimale euklidische Norm besitzt weiter existiert ein Algorithmus zur Bestimmung des minimalen euklidischen Betrages in einem Ring; das Finden einer geschlossenen Form für minimalen euklidischen Betrag ist jedoch im allgemeinen aufwändig.

Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring . Beweisidee: Ist a ein Element des Ideals I mit minimaler euklidischer Norm dann ist I = ( a ) ein Hauptideal .

Beispiele

  • Der Ring <math>\mathbb{Z}</math> der ganzen Zahlen euklidischer Betrag wäre <math>g:\mathbb{Z}\to\mathbb{N}</math> <math>x \mapsto |x|</math>. minimale euklidische Betrag einer ganzen Zahl ist durch die Länge der Binärdarstellung ihres Absolutbetrages.

  • Ein beliebiger Polynomring <math>K[X]</math> über einem Körper K wobei die euklidische Norm durch den eines Polynoms gegeben ist; dies ist bereits die euklidische Norm.

  • Der Ring <math>\mathbb{Z}[i]</math> der ganzen Gaußschen mit <math>g:\mathbb{Z}[i]\to \mathbb{N}</math> erklärt durch <math>(a+bi)\mapsto a^{2}+b^{2}</math>.

  • Dagegen ist z.B. der Polynomring <math>\mathbb{Z}[X]</math> euklidischer Ring da das Ideal <math>(X 2)</math> Hauptideal ist.

  • Auch der Ring <math>\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]</math> ist nicht da <math>2+2\sqrt{-3}</math> und 4 keinen ggT haben "maximale gemeinsame Teiler" sind <math>1+\sqrt{-3}</math> und 2 aber teilerfremd sind).



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