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Faktorring


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In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring . Es handelt sich dabei um eine der Restklassenringe ganzer Zahlen.

Definition

Ist R ein Ring und I ein (beidseitiges) Ideal von R dann bildet die Menge R / I = {a+ I | a in R } der Äquivalenzklassen modulo I mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

[a] + [b] := [a+b]
[a] * [b] := [a*b]
Dabei bezeichnet [a]=a+ I ={a+i | i aus I} die Äquivalenzklasse a aus R und + * die Verknüpfungen von R .

Diesen Ring nennt man den Faktorring R modulo I oder auch Quotientenring . (Er hat weder mit dem Ring der Quotienten der bei der Lokalisation eines Ringes noch mit dem Quotientenkörper eines Integritätsrings etwas tun.)

Beispiele

Die Menge n Z aller ganzen Vielfache von n ist ein Ideal in Z und der Faktorring Z /n Z ist ein Restklassenring .

Ist R ein Integritätsring und f ein Polynom in T über R dann ist die Menge R [T]* f =:( f ) aller Polynom-Vielfachen von f ein Ideal im Polynomring R [T] und R [T]/( f ) = { g + ( f ) | g aus R [T]} ist der Faktorring R [T] modulo f .

Betrachten wir z.B. das Polynom f = T 2 +1 über dem Körper R der reellen Zahlen . Das Polynom T 2 liegt in derselben Äquivalenzklasse modulo f wie -1 denn f teilt T 2 -(-1). Also:

f teilt T 2 -(-1) d.h. T 2 = -1 (mod f ) d.h. [T 2 ] = [-1]

Wollen wir nun z.B. [T+1]*[T+2] in R [T]/( f ) bestimmen ermitteln wir

[T+1]*[T+2] = [(T+1)*(T+2)] = [T 2 +3T+2] = [3T+1]

Dieser Faktorring ist isomorph zum Körper komplexen Zahlen (T entspricht der imaginären Einheit i ).

Man erhält alle endlichen Körper als Faktorringe der Polynomringe über den Restklassenkörpern Z /p Z .

Eigenschaften

Ist R ein Integritätsring und I ein Primideal dann ist R / I ein Integritätsring.

Ist R ein Integritätsring und I ein maximales Ideal dann ist R / I ein Körper.

Ist K ein Körper und f ein irreduzibles Polynom über K dann ist ( f ) ein maximales Ideal in K [T] und deshalb ist K [T]/( f )=: L ein Körper. Dieser Körper ist ein von K in dem f zerfällt (der Zerfällungskörper von f ). Die Körpererweiterung L / K ist endlich und algebraisch .



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