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Fermat-Zahl


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Eine Fermat-Zahl benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat ist eine natürliche Zahl der Form F n :=2 2 n +1 wobei n eine nichtnegative ganze Zahl ist.

Eine Fermatsche Primzahl ist eine Fermat-Zahl die gleichzeitig Primzahl ist.

Fermat kannte die ersten fünf Fermatzahlen

F 0 = 3 F 1 = 5 F 2 = 17 F 3 = 257 F 4 = 65537
und er vermutete 1637 dass alle Fermat-Zahlen Primzahlen sind. Diese wurde von Leonhard Euler 1732 widerlegt indem er den echten Teiler von F 5 = 4294967297 berechnete. Man vermutet inzwischen alle Fermat-Zahlen außer den ersten fünf keine sind. Diese umgekehrte Vermutung basiert auf einem Argument von H.W. Lenstra welcher die "Wahrscheinlichkeit" dass F n prim ist zu n /2 n berechnet. Da aber die Summe dieser konvergiert kann es nur endlich viele Fermat-Zahlen

Inhaltsverzeichnis

Faktorisierungsstatus von Fermat-Zahlen

Die Zahlen F 0 bis F 4 sind Primzahlen.

Die vollständig faktorisierten Fermat-Zahlen entnimmt man Tabelle:

Von F 5 - F 7 :

n F n Wer
5 641 * 6700417 Euler (1732)
6 274177*67280421310721 Landry & Le Lasseur (1880)
7 59649589127497217*5704689200685129054721 Morrison & Brillhart (1970)

Ab F 8
n Wer
8 Brent & Pollard (1980)
9 Western (1903) Lenstra & Lenstra & Manasse Pollard (1990)
10 Selfridge (1953) Brillhart (1962) Brent (1995)
11 Cunningham (1899) Brent & Morain (1988)
12 Pervouchine & Lucas (1877) Western (1903) Hallyburton Brillhart (1974)
13 Hallyburton & Brillhart (1974) Crandall (1991)
14 Selfridge and Hurwitz (1964)
15 Kraitchik (1925) Gostin (1987) Suyanama (1989)

Von den Zahlen F 12 bis F 32 sowie von etlichen größeren Fermat-Zahlen ist dass sie zusammengesetzt sind. Von einigen sind schon ein paar Faktoren bekannt. Insgesamt weiß von 217 Fermat-Zahlen dass sie zusammengesetzt sind.

Um von einer Fermat-Zahl nachzuweisen dass zusammengesetzt ist benutzt man in der Regel Pepin-Test und den Suyama-Test die beide besonders diese Zahl zugeschnitten und sehr schnell sind.

Eigenschaften

  • Für einen Teiler p einer Fermat-Zahl F n gilt p ≡ 1 (mod 2 n+1 )

  • Fermat-Zahlen lassen sich rekursiv berechnen aus
F n = F 0 F 1 ...F n-1 + 2

Aus den letzten beiden Aussagen folgt dass es unendlich viele Primzahlen gibt (siehe Goldbachs Beweis ).

Geometrische Anwendung der Fermatschen Primzahlen

Carl Friedrich Gauß zeigte (Erstveröffentlichung von Wantzel im Jahre dass es einen Zusammenhang zwischen der Konstruktion regelmäßigen Vielecken und den Fermatschen Primzahlen gibt: Eine Vieleck mit n Seiten kann nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden wenn n eine Potenz von 2 oder das Produkt einer Potenz von 2 und verschiedenen Primzahlen ist.

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen

Statt der Basis 2 kann man eine andere Basis wählen. Eine Zahl der F n = b 2 n +1 mit einer natürlichen Zahl b heißt Verallgemeinerte Fermatsche Zahl . Ist eine solche Zahl auch noch dann heißt sie Verallgemeinerte Fermatsche Primzahl .

Beispiel: b =4 n =1 ergibt die Primzahl 17.

Internationale Suche

Es existiert ein internationales Projekt Generalized Fermat Prime Search welches große Fermatsche und große verallgemeinerte Primzahlen sucht. Jeder kann sich daran beteiligen.

Weblinks




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