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| Nachrichten | Lexikon | Protokolle | Bücher | Foren | Sonntag, 19. Mai 2013 |
Fermat-ZahlDieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier. Eine Fermat-Zahl benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat ist eine natürliche Zahl der Form F n :=2 2 n +1 wobei n eine nichtnegative ganze Zahl ist. Eine Fermatsche Primzahl ist eine Fermat-Zahl die gleichzeitig Primzahl ist. Fermat kannte die ersten fünf Fermatzahlen
Faktorisierungsstatus von Fermat-ZahlenDie Zahlen F 0 bis F 4 sind Primzahlen. Die vollständig faktorisierten Fermat-Zahlen entnimmt man Tabelle: Von F 5 - F 7 :
Ab F 8
Von den Zahlen F 12 bis F 32 sowie von etlichen größeren Fermat-Zahlen ist dass sie zusammengesetzt sind. Von einigen sind schon ein paar Faktoren bekannt. Insgesamt weiß von 217 Fermat-Zahlen dass sie zusammengesetzt sind. Um von einer Fermat-Zahl nachzuweisen dass zusammengesetzt ist benutzt man in der Regel Pepin-Test und den Suyama-Test die beide besonders diese Zahl zugeschnitten und sehr schnell sind.
Eigenschaften
Aus den letzten beiden Aussagen folgt dass es unendlich viele Primzahlen gibt (siehe Goldbachs Beweis ).
Geometrische Anwendung der Fermatschen PrimzahlenCarl Friedrich Gauß zeigte (Erstveröffentlichung von Wantzel im Jahre dass es einen Zusammenhang zwischen der Konstruktion regelmäßigen Vielecken und den Fermatschen Primzahlen gibt: Eine Vieleck mit n Seiten kann nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden wenn n eine Potenz von 2 oder das Produkt einer Potenz von 2 und verschiedenen Primzahlen ist.
Verallgemeinerte Fermatsche ZahlenStatt der Basis 2 kann man eine andere Basis wählen. Eine Zahl der F n = b 2 n +1 mit einer natürlichen Zahl b heißt Verallgemeinerte Fermatsche Zahl . Ist eine solche Zahl auch noch dann heißt sie Verallgemeinerte Fermatsche Primzahl .Beispiel: b =4 n =1 ergibt die Primzahl 17.
Internationale SucheEs existiert ein internationales Projekt Generalized Fermat Prime Search welches große Fermatsche und große verallgemeinerte Primzahlen sucht. Jeder kann sich daran beteiligen.
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