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Finite-Elemente-Methode


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Die Finite-Elemente-Methode ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung von partiellen Differentialgleichungen mit Randbedingungen .

Das untersuchte Lösungsgebiet wird zunächst in die finiten Elemente eingeteilt. Innerhalb des Finiten Elements werden die gesuchte Lösung je n Ansatzfunktionen definiert nur auf endlich vielen der Gitterzellen ungleich sind. Durch eine Linearkombination der n Ansatzfunktionen innerhalb des Elementes die möglichen Lösungen der numerischen Näherung festgelegt.

Die Differentialgleichungen und die Randbedingungen werden Gewichtungsfunktionen multipliziert und über das Lösungsgebiet integriert. Integral wird durch eine Summe über einzelne der Finiten Elemente ersetzt. Da die Ansatzfunktionen auf wenigen der Elemente ungleich Null sind sich ein dünnbesetztes häufig sehr großes lineares Gleichungssystem bei dem die Faktoren der Linearkombination sind.

Dieses Gleichungssystem könnte man zwar prinzipiell (z.B. mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren ) lösen. Da der Berechnungsaufwand dort aber N Gleichungen <math>O(N^3)</math> beträgt und beim Lösen dünnbesetzte Struktur die sich effizient speichern lässt geht verwendet man im Allgemeinen iterative Löser schrittweise eine Lösung verbessern. Einfache Beispiele dafür das Jacobi- und Gauss-Seidel-Verfahren praktisch werden aber Mehrgitterverfahren oder vorkonditionierte Krylov-Unterraumverfahren wie das Verfahren konjugierten Gradienten verwendet. Aufgrund der Größe der ist manchmal der Einsatz von Parallelrechnern nötig.

Ursprünglich wurde die Finite-Elemente-Methode zur Lösung Festkörper -Problemen in den 50er Jahren entwickelt obwohl Bezeichnung "Finite Elemente" erst etwas später benutzt Vorläufer reichen aber noch viel weiter zurück. weiteren Verlauf der Forschung wurde die Finite-Elemente-Methode weiter verallgemeinert und kann nunmehr in vielen Problemstellungen eingesetzt werden.

- Verformungs- und Spannungsberechnungen in der Statik und Dynamik

- Sickerströmungsberechnungen Hydraulik

- Wärmeleitung Temperaturverteilungen

- Elektrizität Magnetostatik usw.

Ausgegangen ist die Methode aber von Elastizitätstheorie weswegen sie im Folgenden an diesem näher beschrieben wird. In der Elastizitätstheorie gibt drei Grundbedingungen:

  • Gleichgewicht: Die angreifenden müssen mit den inneren im Gleichgewicht stehen.
  • Kinematische Verträglichkeit: Ein Verschiebungszustand ist dann kinematisch verträglich alle Einzelelemente nach der Verformung lückenlos zusammenpassen zusätzlich die kinematischen Randbedingungen erfüllt werden.
  • Materialgesetz: In der klassischen Elastizitätstheorie gilt das von Robert Hooke nach dem Spannungen und Dehnungen linear abhängen.

Die drei Grundbedingungen lassen sich mathematisch einem System von Differentialgleichungen formulieren das oft für praktisch interessierende nicht exakt oder "geschlossen" lösbar ist. Bei FEM werden das Materialgesetz und eine weitere drei Bedingungen exakt erfüllt die dritte jedoch angenähert. Dementsprechend gibt es zwei Typen von von denen die zweite die wichtigere ist:

  1. Gleichgewichts- oder Kraftmethode: Die inneren Kräfte/Spannungen werden als unabhängige eingeführt so dass die Gleichgewichtsbedingungen exakt erfüllt Die kinematische Verträglichkeit wird mittels des Prinzips virtuellen Kräfte angenähert befriedigt.
  2. Verschiebungsmethode: Es wird ein Ansatz für einen Verlauf der Verschiebungen gemacht so dass die unabhängige Variablen sind. Mit Hilfe des Prinzips virtuellen Verschiebungen werden die inneren Kräfte näherungsweise Die Gleichgewichtsbedingungen sind dann i. a. nicht sondern nur im Mittel über das ganze erfüllt.

Die gegebene Aufgabe wird diskretisiert indem allgemein das Grundgebiet in einfache Teilgebiete die Elemente zerlegt wird. Bei gewissen Aufgabenstellungen ist Aufteilung in Elemente durch das Problem bereits vorgegeben. Das ist beispielsweise bei einem räumliches Fachwerk der Fall bei welchem die einzelnen die Elemente der Konstruktion bilden. Dasselbe gilt auch bei Rahmenkonstruktionen wo die einzelnen Balken unterteilte Balkenstücke die Elemente der Aufgabe darstellen.

Im Fall von zweidimensionalen Problemen wird Grundgebiet in Dreiecke Parallelogramme krummlinige Dreiecke oder Vierecke eingeteilt. Selbst nur geradlinige Elemente verwendet werden erreicht man einer entsprechend feinen Diskretisierung eine recht gute Approximation (Annäherung) des Grundgebietes. Krummlinige Elemente erhöhen die Güte der Annäherung. Jedenfalls erlaubt diese eine äußerst flexible und auch dem Problem Erfassung des Grundgebietes. Allerdings muss darauf geachtet dass Paare von sehr spitzen Winkeln in den Elementen vermieden werden um numerische Schwierigkeiten auszuschließen. Dann wird das gegebene durch die Fläche der approximierenden Elemente ersetzt.

Bei räumlichen Problemen erfolgt eine Diskretisierung dreidimensionalen Gebietes in Tetraederelemente Quaderelemente oder andere dem Problem angepasste möglicherweise krummflächig berandete Elemente.

In jedem der Elemente wird für gesuchte Funktion bzw. allgemeiner für die das beschreibenden Funktionen ein problemgerechter Ansatz gewählt. Im eignen sich dazu ganze rationale Funktionen in unabhängigen Raumkoordinaten. Für eindimensionale Elemente (Stäbe Balken) Polynome ersten zweiten dritten und gelegentlich sogar Grades in Frage. Bei zweidimensionalen Problemen finden quadratische oder höhergradige Polynome Verwendung. Die Art Ansatzes hängt dabei einerseits von der Form Elementes ab und andererseits kann auch das behandelnde Problem den zu wählenden Ansatz beeinflussen. die Ansatzfunktionen müssen beim Übergang von einem ins benachbarte ganz bestimmte problemabhängige Stetigkeitsbedingungen erfüllen. Die Stetigkeitsanforderungen sind häufig aus Gründen offensichtlich und aus mathematischen Gründen auch Z.B. muss die Verschiebung eines zusammenhängenden Körpers einer Richtung beim Übergang von einem Element anderen stetig sein um die Kontinuität des zu gewährleisten. Im Fall der Balken- oder sind die Stetigkeitsanforderungen höher da dort aus physikalischen Gründen sogar die Stetigkeit der ersten bzw. der beiden ersten partiellen Ableitungen gefordert muss. Elemente mit Ansatzfunktionen welche den Stetigkeitsbedingungen heißen konform.

Um nun die Stetigkeitsanforderungen tatsächlich zu muss der Funktionsverlauf im Element durch Funktionswerte auch durch Werte von (partiellen) Ableitungen (den Knotenpunktverschiebungen) in bestimmten Punkten des den Knotenpunkten ausgedrückt werden. Die in den benutzten Funktionswerte und Werte von Ableitungen nennt die Knotenvariablen des Elements. Mit Hilfe dieser stellt sich die Ansatzfunktion als Linearkombination von Formfunktionen mit den Knotenvariablen als Koeffizienten dar.

Es ist zweckmäßig für die Knotenpunktkoordinaten einem elementbezogenen lokalen ein globales Koordinatensystem zu Beide werden durch Transformationsfunktionen miteinander verknüpft. Werden diese Transformation dieselben Formfunktionen wie für den benutzt so sind es "isoparametrische Elemente" bei niedrigeren bzw. höheren Grades sub- bzw. superparametrische

Die Knotenpunktverschiebungen werden nun aus der ermittelt dass im gesuchten Gleichgewichtszustand die potentielle ein Minimum hat. Das Prinzip vom Minimum potentiellen Energie bildet eine der möglichen Variationsmethoden direkten Bestimmung von Steifigkeitsgleichungen finiter Elemente. Die Energie einer Konstruktion ist die Summe aus inneren Verzerrungsenergie (der elastischen Formänderungsenergie) und dem der aufgebrachten Lasten (der von äußeren Kräften Arbeit).

Dabei wird letztlich ein sehr großes aufgestellt das aus einer Gesamtsteifigkeitsmatrix einem Verschiebungsvektor einem Kraftvektor besteht. Es muss anschließend gelöst und man erhält die gesuchten Verformungen und Spannungen.

Der Umfang dieses Gleichungssystems wächst sehr mit der Zahl der Knoten bzw. Elemente Gesamtsystems. Deshalb war die Anwendung der FEM komplexe Probleme mit einer Vielzahl von Unbekannten nur unter Verwendung leistungsfähiger Großrechner möglich. Heute können hierfür auch Personal Computer benutzt werden.

Es gibt heute eine Vielzahl von Computerprogrammen die nach der Methode der Finiten arbeiten. Beispiele:

Weblinks



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