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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenDonnerstag, 24. April 2014 

Formales System (Mathematik)


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Die Mathematik bedient sich seit jeher formaler Systeme . Die elementare Algebra wie man sie in der Schule ist ein solches System. Sie bedient sich Zahlen Rechenzeichen für Addition Subtraktion usw. und Buchstaben für Unbekannte. Die Rechenregeln sind die die mechanisch angewendet werden können wenn man sie eingesehen hat. Beispielsweise kann man

Algebraregel1: <math>a+0 \Leftrightarrow a</math>

interpretieren als:

Jeder beliebige Ausdruck a kann um Null vermehrt werden ohne Ergebnis zu ändern.

Eine mechanische Regel könnte dann lauten:

Hat man einen Ausdruck a so kann man die Symbolkette +0 anfügen oder entfernen ohne das Ergebnis ändern. (Anmerkung: unter Beachtung der Klammerregeln).

Formale Prädikatenlogik

Ein klassisches Beispiel für ein Axiomensystem der Mathematik ist die Gruppentheorie . Eine Gruppe lässt sich über einer und einer zugehörigen (Rechen-)Operation bilden. Mathematische Sätze sich allein aus den vier Axiomen der gewinnen. Die Sätze gelten dann für alle mit zugehöriger Operation deren Eigenschaften sich auf Gruppenaxiome abbilden lassen.

Symbole sind die Elemente der Menge das Operatorsymbol. Mit Hilfe der Prädikatenlogik lassen Axiome und Sätze formal darstellen und beweisen. Prädikatenlogik erweitert die Aussagenlogik um

Prädikatenlogik-Symbol1 : <math>\forall a :</math> für alle a gilt:
Prädikatenlogik-Symbol2 : <math>\exists b :</math> es existiert (mindestens ein) b so dass

Daneben werden die Symbole der Aussagenlogik

<math>\neg</math> nicht . Verneinung einer Aussage <math>\neg A</math> ist dann wahr wenn A falsch ist und umgekehrt.
<math>\wedge</math> und . Die Gesamtaussage <math>A \wedge B</math> ist dann wahr wenn sowohl A als auch B wahr sind.
<math>\vee</math> oder . Die Gesamtaussage <math>A \vee B</math> ist dann wahr wenn entweder A oder B oder beide wahr sind.

a b c ... sind Platzhalter für die Elemente vorgegebenen Menge <math>\circ</math> das Operatorsymbol. Die Operation im Folgenden Multiplikation genannt obwohl jede beliebige gemeint sein kann. Dann kann man die der Gruppentheorie formal so darstellen:

Formales Axiom Beschreibung
<math>\forall a : \forall b : c : a \circ b = c</math> Für alle a und b gibt es ein c so dass a mit b multipliziert c ergibt.
<math>\forall a : \forall b : c : (a \circ b) \circ c a \circ (b \circ c)</math> Wird das Ergebnis der Multiplikation von a und b anschliessend multipliziert mit c so erhält man dasselbe wie wenn b mit c und danach a mit dem Ergebnis multipliziert. Dies gilt alle a b c .
<math>\exists e : \forall b : \circ b = b \wedge b \circ = b</math> Es existiert ein e so dass für jedes b gilt: die Multiplikation von e mit ergibt stets b ebenso die Multiplikation von b mit e . e heißt neutrales Element .
<math>\forall a: \exists b : a b = e \wedge b \circ a e</math> Für jedes a gibt es ein b das mit diesem zusammen multipliziert das neutrale Element ergibt.
Darstellung der Axiome der Gruppentheorie mit Hilfe Prädikatenlogik

Aus den Umwandlungsregeln der Prädikatenlogik lassen aus diesen Axiomen die Sätze der Gruppentheorie formal ableiten. Eine solche Regel ist z.B.

Prädikatenlogikregel1: <math>\neg \exists a : B \Leftrightarrow a : \neg B</math>

Hier die Übersetzung:

Prädikatenlogikregel1: Wenn kein Element a existiert so dass die Aussage B erfüllt ist so ist dies gleichbedeutend dass für alle a die Aussage B nicht gilt.

Die dargestellte Prädikatenlogik heisst Prädikatenlogik erster Sie erlaubt Aussagen der Form "Alle Objekte die Eigenschaft" bzw. "Mindestens ein Objekt hat Eigenschaft ..." jedoch keine Aussagen der Form die Eigenschaft gilt: ...". Dies ist Logiken Stufe vorbehalten. Trotzdem erlaubt die Prädikatenlogik erster die Formalisierung der Mengenlehre und damit nahezu der gesamten Mathematik.

Literatur

Siehe auch: Formales System (Logik)



Bücher zum Thema Formales System (Mathematik)

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