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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenMontag, 20. Mai 2013 

Fourierreihe


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Als Fourierreihe einer Funktion f ( x ) bezeichnet man deren Entwicklung in eine von Sinus- und Kosinusfunktionen.

Die Basisfunktionen der Fourierreihe bilden das Beispiel für ein orthogonales Funktionensystem .

Inhaltsverzeichnis

Darstellungsformen

allgemeine Form (reelle Fourierreihe):

<math>
f(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos(n\omega t) b_n \sin(n\omega t)) </math>

Dabei ist

<math>
\omega=\frac{2\pi}{T} </math>

<math>a_0</math> der Gleichanteil (wechsellose Größe oder auch der Frequenz <math>f_0=0</math>)

<math>
a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)cos(n\omega t) dt\;\;\;\mbox{und}\;\;\;b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)sin(n\omega t) </math>

Amplituden- Phasen -Notation:

<math>
f(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (A_n \cos(n\omega t \phi_n)) </math>

Dabei ist

<math>
A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2} </math> und <math> \phi_n=\arctan{\frac {b_n} </math>

komplexe Fourierreihe:

<math>
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\omega t} </math>

Hierbei gilt

<math>c_0 = \frac{a_0}{2}</math>

<math>c_n = \frac{(a_n - \mathrm{i} b_n)}{2} \mbox{ }n>0</math>

<math>c_n = \frac{(a_{-n} + \mathrm{i} b_{-n})}{2} \mbox{ } n<0</math>

Beispiele

Dreieckpuls

<math>f(t)= \frac{8}{\pi^2} \begin{bmatrix} {\cos {\omega t} \frac {1}{3^2}\cos{3 \omega t} + \frac {1}{5^2}\cos \omega t} + ...} \

Sägezahnpuls

<math>f(t)=- \frac{2}{\pi}\begin{bmatrix} {\sin {\omega t} + {1}{2}\sin{2 \omega t} + \frac {1}{3}\sin {3 t} + ...} \end{bmatrix}</math>

Siehe auch: Diskrete Fourier-Transformation




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