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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenFreitag, 22. August 2014 

Fraktal


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Fraktal (Adjektiv oder Substantiv) ist ein von Mandelbrot ( 1977 ) geprägter Begriff (aus dem lateinischen adjektiv: fractus ; von dem lat. Verb frangere : brechen in Stücke zerbrechen irregulär) der natürlichen oder künstlichen Gebilde oder Muster bezeichnet die einen hohen Grad von bzw. Selbstähnlichkeit aufweisen.

Mandelbrot benutzte den Begriff der verallgemeinerten Dimension nach Hausdorff und stellte fest dass fraktale Gebilde Räume (oder mathematische Gebilde) mit einer nicht-ganzzahligen angesehen werden können. (Zur Erinnerung: ein Zahlenstrahl eine Linie hat die Dimension 1 eine die Dimension 2 ein Raum die Dimension Daher wird nach ihm alles was eine Dimension aufweist als Fraktal bezeichnet. In Mandelbrots

A fractal is by definition a set which the Hausdorff-Besicovitch dimension strictly exceeds the dimension.
Ein Fraktal ist laut Definition eine Menge Hausdorff-Besikowitsch Dimension (auch: "fraktale Dimension") ihre topologische echt übersteigt.

Die fraktale Dimension <math>D</math> ist ein für die Vervielfachung der selbstähnlichen Einheiten eines mit wachsender Vergrößerung der fraktalen Struktur.

<math> D = \frac{\log(\mbox{Anzahl selbstähnlicher Teile})}
{\log(\mbox{Vergrößerungsfaktor})} </math>

Inhaltsverzeichnis

Beispiele

Linie Quadrat Koch'sche Schneeflocke ...

Die Selbstähnlichkeit muss nicht perfekt sein die erfolgreiche Anwendung der Methoden der fraktalen Geometrie auf natürliche Gebilde wie Bäume Wolken etc. zeigen. Die genannten Objekte sind in oder weniger starkem Maß selbstähnlich strukturiert (ein sieht ungefähr so aus wie ein verkleinerter die Ähnlichkeit ist jedoch nicht streng sondern stochastisch . Im Gegensatz zu Formen der euklidischen Geometrie die bei einer Vergrößerung oft flacher flacher und damit einfacher werden (z.B. Kreis) können Fraktalen immer komplexere und neue Details auftauchen.

Mandelbrot fand heraus dass kein Fraktal der Ebene eine Dimension größer als e haben kann. (?)

Fraktale Muster werden oft durch rekursive Operationen erzeugt. Auch einfache Erzeugungsregeln ergeben wenigen Rekursionsschritten schon komplexe Muster.

Ein künstlich erzeugter Baum. Siehe Applet .

Ein Fraktal im dreidimensionalen Raum ist Menger-Schwamm .

Verfahren zur Erzeugung von Fraktalen

Fraktale können auf viele verschiedene Arten werden doch alle Verfahren beinhalten ein rekursives Mögliche Verfahren sind:

  • Die Iteration von Funktionen ist die einfachste und Art Fraktale zu erzeugen; die Mandelbrot-Menge entsteht so. Eine besondere Form dieses sind IFS (Iterierte Funktionensysteme) bei denen mehrere kombiniert werden. So lassen sich natürliche Gebilde
  • Dynamische Systeme erzeugen fraktale Gebilde so genannte seltsame
  • L-Systeme die auf wiederholter Textersetzung beruhen eigenen sehr gut zur Modellierung natürlicher Gebilde wie und Zellstrukturen.

Fraktale die sich geometrisch konstruieren lassen

Fraktal L-System Winkel Strecken-Verhältnis
Drachenkurve
 F -> R R -> +R--L+ -> -R++L-  
45° <math>1:1/\sqrt{2}</math>
Gosper-kurve
 F -> R R -> R+L++L-R--RR-L+ -> -R+LL++L+R--R-L  
60° <math>1:1/\sqrt{7}</math>
Hilbert-Kurve
Koch-Kurve
 F -> F+F--F+F  
60° 1:1/3
Peano-Kurve
Penta Plexity
 F++F++F++F++F F -> F++F++F|F-F++F  
36° <math>1:1/\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2</math>
Pfeilspitze
 F -> R R -> -L+R+L- -> +R-L-R+  
60° 1:1/2
Sierpinski-Dreieck
Sierpinski-Teppich

Fraktale in der Natur

Sehr leicht kann man Fraktale auch der Natur und im täglichen Leben beobachten. fällt einem die fraktale Struktur des grünen Blumenkohls und Farnen in das Auge. Auch bei bestimmten kann man eine fraktale Struktur erkennen.

Literatur

  • Herbert Voß: Chaos und Fraktale selbst programmieren franzis' ISBN 3-772-37003-9
  • Horst Halling / Rolf Möller: Mathematik fürs Auge - Eine Einführung in Welt der Fraktale Spektrum ISBN 3-860-25427-8
  • Benoît B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur Birkhäuser ISBN 3-764-32646-8
  • Heinz-Otto Peitgen Peter H. Richter: The Beauty of Fractals. Images of Complex Systems Springer ISBN 3-540-15851-0

Siehe auch

Chaostheorie Apfelmännchen Julia-Menge Chaos-Spiel Menger-Schwamm Lindenmayer-Systeme Digitale Kunst

Weblinks




Bücher zum Thema Fraktal

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