Robbins wurde als Sohn der beiden William J. und Christine Robbins geboren. Er sich schon früh für die Medizin und nach seinem Highschool-Abschluss das Studium an der of Missouri auf. 1938 erhielt er den Degree und setzte seine Studien an der Medical School fort. 1940 wurde er als am zentralen Kinderkrankenhaus in Boston angestellt. Während des 2. Weltkrieges arbeitete er in Armeediensten an der von Hepatitis Typhus und Q Fever.
Nach seiner Heirat mit Alice Northrop er seine Arbeit am Kinderkrankenhaus fort und zur Forschungsgruppe von John Franklin Enders und H. Weller die sich mit Infektionskrankheiten beschäftigte. war man in der Lage Kulturen mit Polio - Virus zu erzeugen. Dies führte zur Schaffung Impfstoffs für die Kinderlähmung.
Dafür erhielt er zusammen mit Enders Weller 1954 den Nobelpreis für Medizin.
Bis zu seinem Tod am 4. 2003 arbeitete er als Professor (emeritus) für Pädiatrie an der Western Reserve University School Medicine (Cleveland).