Fundamentalsatz der Algebra

Das bedeutet anders ausgedrückt: Sucht man Nullstellen eines nicht konstanten Polynoms mit ganzen reellen oder komplexen Koeffizienten dehnt man die Suche in den Bereich komplexen Zahlen aus so wird man immer Es ist aber nicht so dass Polynome reellen Koeffizienten nur reelle Nullstelle haben. Da die zu den Nullstellen gehörenden Linearfaktoren abspalten kann zerfällt somit jedes Polynom <math>\mathbb{C}</math> komplett in ein Produkt aus Linearfaktoren.

Der erste vollständige Beweis für den der Algebra wurde 1799 von Gauß im Rahmen seiner Dissertation angegeben. Inzwischen man mehrere sehr unterschiedliche Beweise die Begriffe Ideen aus Analysis Algebra und/oder Topologie beinhalten. Trotz seines Namens kann der nicht mit rein algebraischen Methoden bewiesen werden er eine Aussage über den Körper <math>\mathbb{C}</math> - und dieser ist ein Konstrukt der Am einfachsten kann der Fundamentalsatz der Algebra Methoden der Funktionentheorie (Satz von Liouville) bewiesen werden.

Beispiel

Die Polynomgleichung

<math>P(x)=x^5-5x^4+17x^3-13x^2=0</math>

hat die Lösungen

<math>\mathbb{L}=\{0^{(2)} 1 2-3i 2+3i\}</math>

die natürlich die Nullstellen des Polynomes Die Lösung 0 wird dabei doppelt gezählt aus der zerlegten Form des Polynomes ersichtlich

<math>P(x)=x\cdot x(x-1)\cdot(x-2+3i)\cdot(x-2-3i)</math>

Anmerkungen

Komplexe Nullstellen treten bei Polynomen mit Koeffizienten immer paarweise konjugiert auf. D.h. ist <math>\lambda = x iy</math> Nullstelle so auch <math>\overline{\lambda} = x iy</math>. Beweis:

<math>f(\overline{\lambda}) = \overline{f(\lambda)} = \overline{0} =

(Verschiedene Beweise sind auf der englischen Seite finden vielleicht werden sie noch hierher übersetzt?)

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