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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenDonnerstag, 17. April 2014 

Funktion (Mathematik)


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Eine Funktion - häufig wird synonym auch der Abbildung verwendet - drückt die Abhängigkeit einer von einer anderen aus. Traditionell wurden Funktionen Regel oder Vorschrift definiert die eine Eingangsgröße Argument ) in eine Ausgangsgröße ( Funktionswert ) transformiert. In der Schulmathematik lernt man einfache Funktionen kennen wie: y = 2x 3 oder y = x 2 .

Heute definiert man Funktionen in Begriffen Mengenlehre .

Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge (Definitionsbereich) A genau ein Element einer Wertemenge (Wertebereich) B zu. Eine Funktion ist daher eine und rechtseindeutige Relation .

Schreibweisen und Sprechweisen

  • <math> f\colon A \to B </math>
    (bzw. f : A -> B im Textmodus) statt f A × B
    "Funktion f von A nach B "

  • <math> f\colon x \mapsto f(x) </math>
    (bzw. f : x -> f ( x ) im Textmodus) oder y = f ( x ) statt ( x y ) in f .
    " x wird abgebildet auf f von x "
    " y ist f von x ".

Beispiele

Die Normalparabel : <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \;\; x f(x)=x^2</math>

Die Nachfolger-Funktion: <math>s:\mathbb{N} \to \mathbb{N} \;\; \mapsto s(x)=x+1</math>

Wichtige Begriffe

  • Das Bild (engl.: image ) eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f ( x ).
  • Das Bild einer Funktion ist die Menge aller also f ( A ) = { f ( x ) : x in A }
  • Das Urbild eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller der Definitionsmenge deren Bild y ist. Man schreibt f -1 ( y ) = { x in A : f ( x ) = y }.
  • Das Urbild einer Teilmenge M der Wertemenge ist die Menge aller der Definitionsmenge deren Bild Element dieser Teilmenge f -1 ( M ) = { x in A : f ( x ) in M }.
  • Die Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen durch ( f  o  g )( x ) =  f ( g ( x )).
  • Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
  • Ein Fixpunkt ist ein x im Definitionsbereich von f für das f ( x ) = x gilt. Entsprechend ist eine Fixgerade eine Gerade g deren Bild unter der Funktion f wieder g ist.

Eigenschaften von Funktionen

Funktionen die Strukturen beachten

Reelle Funktionen

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungmerkmale und somit viele Namen für einzelne Funktionstypen. Hier eine reeller Funktionstypen ( f : R -> R ):

  1. homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität ): allgemein beschrieben durch f ( x ) = m · x ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
  2. allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion ): allg. beschrieben durch f ( x ) =  m · x  +  n
  3. Quadratische Funktion : allg. beschrieben durch f ( x ) =  a · x 2  +  b · x  +  c (s. Quadratische Gleichung )
  4. Polynom -Funktion : allg. beschrieben durch f ( x ) = a n · x n + a n -1 · x n -1 + ... + a 1 · x + a 0 oder
    <math>f(x) = \sum_{i=0}^n a_i\cdot x^i</math>
  5. Rationale Funktion : Quotient zweier Polynom-Funktionen f ( x ) =  g ( x )/ h ( x )
  6. ganzrationale Funktion : Synonym für Polynom-Funktion
  7. gebrochenrationale Funktion : Synonym für rationale Funktion
  8. echt gebrochenrationale Funktion : rationale Funktion deren Zählerpolynom einen kleineren als das Nennerpolynom hat
  9. unecht gebrochenrationale Funktion : rationale Funktion deren Zählerpolynom einen Grad oder gleich dem Nennerpolynom hat; ist Summe Polynoms und einer echt gebrochenrationalen Funktion
  10. Wurzelfunktion : besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch Grundrechenarten und Wurzelausdrücke
  11. Algebraische Funktion : Polynom gebrochenrationale Funktion Wurzelfunktion
  12. Transzendente Funktion :
    1. Exponentialfunktion
    2. Logarithmus
    3. trigonometrische Funktionen
    4. Hyperbelfunktionen
    5. Gammafunktion Betafunktion Zetafunktion
    6. Logistische Funktion
    7. Gaußsche Glockenkurve
  13. elementare Funktion : Bezeichnung für bestimmte Typen klassischer Funktionen allem algebraische transzendente Funktionen sowie die Betragsfunktion Maximumfunktion und Minimumfunktion die Gaußsche Ganzzahlfunktion und Funktionen die aus diesen durch Grundrechenarten zusammengesetzt sind
  14. nichtelementare Funktion : jede Funktion die sich nicht durch Funktion ausdrücken lässt

  1. konvexe Funktion

Weitere Funktionen


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