Funktionentheorie

Der Differenzierbarkeitsbegriff der eindimensionalen reellen Analysis in der Funktionentheorie zur komplexen Differenzierbarkeit erweitert. Damit sind für komplexwertige Funktionen komplexen Variablen zwei verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe definiert: die Differenzierbarkeit und die Differenzierbarkeit der zweidimensionalen reellen Analysis (reelle Differenzierbarkeit). differenzierbare Funktionen sind auch reell differenzierbar die gilt i.A.nicht.

Es werden im Wesentlichen harmonische Funktionen deren Laplaceoperator konstant null ist. Es zeigt sich dies gerade Funktionen sind welche die Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen erfüllen. Gleichwertig hierzu ist die komplexe der Funktionen. Man bezeichnet solche Funktionen auch holomorph oder analytisch.

Anschaulich sind holomorphe Funktionen solche die oft differenzierbar sind und sich in eine Taylor-Reihe in der komplexen Variablen entwickeln lassen. Funktionen sind holomorph (analytisch) bis auf Polstellen . Sie lassen sich in Laurentreihen entwickeln die aber nur endlich viele besitzen bei denen Potenzen mit negativen Exponenten vorkommen.

Für holomorphe Funktionen gilt folgende wichtige die Funktionswerte im Innern einer Kreisscheibe sind durch ihre Werte auf dem Rand der bestimmt. Vorausgesetzt wird dabei dass diese Kreisscheibe im Definitionsbereich der holomorphen Funktion liegt (wie aus dem Cauchyschen Integralsatz folgt).

Neben holomorphen und meromorphen Funktionen gibt in der Funktionentheorie Funktionen mit wesentlichen Singularitäten . Sie sind dadurch charakterisiert dass eine in der Umgebung einer wesentlichen Singularität jeden beliebigen komplexen Zahlenwert annehmen kann. Funktionen mit wesentlichen Singularitäten eine nicht abbrechende Laurententwicklung für Potenzen mit Exponenten.

Wichtige Ergebnisse sind der Cauchysche Integralsatz der Residuensatz und der Riemannsche Abbildungssatz . Ein weiteres wichtiges Ergebnis ist der Fundamentalsatz der Algebra . Er besagt dass sich ein Polynom im Bereich der komplexen Zahlen vollständig Linearfaktoren zerlegen läßt. Für Polynome im Bereich reellen Zahlen ist dies i.A. nicht möglich.

Die Eulersche Identität vermittelt einen Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion den man im Bereich der reellen nicht kennt. Hierüber erschließen sich vielfältige Anwendungsbereiche der Physik (z.B. in der Quantenmechanik die Darstellung von Wellenfunktionen sowie in der Elektrotechnik zweidimensionale Strom - Spannungs - Diagramme ).

Weitere wichtige Forschungsschwerpunkte sind die analytische von holomorphen und meromorphen Funktionen auf die ihres Definitionsbereiches und darüber hinaus.

Inhaltsverzeichnis

1 Wikipedia-Artikel zur Funktionentheorie: 1.1 Grundlagen: 1.2 Fundamentale Sätze: 1.3 Komplexe Funktionen: 1.3.1 Ganze Funktionen: 1.3.2 Meromorphe Funktionen:

Wikipedia-Artikel zur Funktionentheorie:

Grundlagen:

• Komplexe Zahlen
• Komplexe Teilmengen
• Holomorphie

Fundamentale Sätze:

• Cauchyscher Integralsatz
• Residuensatz
• Riemannscher Abbildungssatz

Komplexe Funktionen:

Ganze Funktionen:

• Exponentialfunktion
• Kreisfunktionen
• Hyperbelfunktionen

Meromorphe Funktionen:

• Gammafunktion

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