Fuzzy-Logik

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Fuzzy-Logik ist eine Verallgemeinerung der zweiwertigen (boolschen) Logik die Warheitswerte zwischen WAHR und FALSCH zuläßt. Wörtlich bedeutet Fuzzy -Logik ungefähr "verschwommene Logik": In der Fuzzy-Logik man mit "unscharfen" Begriffen statt mit eindeutigen Aussagen.

Beispielsweise könnte man eine Waschmaschine so dass sie je nach Verschmutzung der Wäsche Waschmittelmenge regelt. Da es nicht möglich ist eindeutigen Verschmutzungsgrad für Kleidung zu bestimmen aber Waschmittelmenge dennoch auf einen festen Wert eingestellt muss benötigt man hier eine Logik die unscharfen Begriffen wie leicht verschmutzt oder stark verdreckt umgehen kann.

Als Alternative zur Fuzzy-Logik wird häufig Wahrscheinlichkeitsrechnung verwandt.

Grundlage der Fuzzy-Logik sind die so unscharfen Mengen . Im Gegensatz zu traditionellen Mengen (im Kontext der Fuzzy-Logik auch scharfe Mengen genannt) in denen ein Element Grundmenge entweder enthalten oder nicht enthalten sein kann ein Element in einer unscharfen Menge ein wenig enthalten sein. Der Grad an Zugehörigkeit meist durch eine Zugehörigkeitsfunktion µ beschrieben die Elementen einer Grundmenge eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zuordnet.

Auch auf unscharfen Mengen sind die der scharfen Mengen definiert wie z. B. (UND) Vereinigung (ODER) und Komplement (NICHT). Das wird auch als T-Norm T(a b) und Fuzzy-ODER als Ko-T-Norm oder T-Konorm ⊥(a b) Bei beiden handelt es sich rein mathematisch Operatoren was unter anderem heißt dass es um eine Funktion zweier Variablen handelt.

Negation : <math>\bar a = 1-a</math>

Inhaltsverzeichnis

1 T-Norm und T-Konorm

1.1 Geläufige T-Normen und T-Konormen
1.2 Eigenschaften

2 Anwendungen

3 Weblinks

T-Norm und T-Konorm

Geläufige T-Normen und T-Konormen

<math>\begin{matrix} \mathrm{\top_{min}}(a b) &=& \min \{a & \mathrm{\bot_{max}}(a b) &=& \max \{a b\} \\ \mathrm{\top_{Luka}}(a b) &=& \max \{0 a+b-1\} \mathrm{\bot_{Luka}}(a b) &=& \min \{a+b 1\} \\ \mathrm{\top_{prod}}(a b) &=& a \cdot b & b) &=& a+b- a \cdot b \\ \mathrm{\top_{-1}}(a b) &=& \left\{\begin{matrix}a & \mbox{falls }b=1

 b & \mbox{falls }a=1 \\ 0 \mbox{sonst}\end{matrix} \right. &

\mathrm{\bot_{-1}}(a b) &=& \left\{\begin{matrix}a & \mbox{falls \\

 b & \mbox{falls }a=0 \\ 1 \mbox{sonst}\end{matrix}\right.

\end{matrix}</math>

Die erstgenannte wird wegen ihrer Einfachheit ihrer unten genannten Eigenschaften am häufigsten eingesetzt.
Die 3. T-Norm sowie deren T-Konorm aus der Wahrscheinlichkeitrechnung.
Weiterhin gelten folgende Zusammenhänge: <math>\begin{matrix} \mathrm{\top_{-1}}(a & \le & \top(a b) & \le \mathrm{\top_{min}}(a b) \\ \mathrm{\bot_{max}}(a b) & \le \bot(a b) & \le & \mathrm{\bot_{-1}}(a b)
D.h. das die drastische T-Norm (T _-1) die kleinste und die Minimum-T-Norm die ist. Umgekehrtes gilt für die T-Konorm. T(a bzw. ⊥(a b) steht hierbei für jede T-Norm bzw. T-Konorm.

Eigenschaften

Zwischen T-Norm und T-Konorm besteht folgender (vgl. De Morgansche Gesetze ):

1-⊥(a b) = T(1-a 1-b)

1-T(a b) = ⊥(1-a 1-b)

Folgende Bedingungen werden verlangt damit eine als T-Norm bzw. T-Konorm gilt:

T-Norm T-Konorm

Nullelement: T(0 a) = T(a 0) = ⊥(a 1) = ⊥(1 a) =

Neutrales Element: T(a 1) = T(1 a) = ⊥(0 a) = ⊥(a 0) =

Assoziativität: T(a T(b c)) = T(T(a b) ⊥(a ⊥(b c)) = ⊥(⊥(a b)

Kommutativität: T(a b) = T(b a) ⊥(a b) = ⊥(b a)

Monotonie: a ≤ b ⇒ T(a c) T(b c) a ≤ b ⇒ ⊥(a c) ⊥(b c)

Anwendungen

Eine Anwendung ist beispielsweise ein Laufkran Container hebt und senkt. Die Pendelbewegung der kann durch eine entsprechende Steuerung ausgeglichen und Last genau auf einen anderen Platz abgelegt Allgemein wird Fuzzy-Logik häufig in eingebetteten Systemen Steuerung von Prozessen eingesetzt.

Weblinks

Bücher zum Thema Fuzzy-Logik

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