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Galoistheorie


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Galoistheorie ist der Bereich der Algebra der die Symmetrie der Nullstellen (auch Wurzeln) von Polynomen untersucht. Diese Symmetrien werden normalerweise durch Gruppen dargestellt welche in der Tat von Evariste Galois erfunden wurden um damit die Symmetrie Wurzeln zu beschreiben.

Die Galoistheorie hat viele Anwendungen bei Problemen wie etwa "Welche regulären Polygone lassen mit Zirkel und Lineal konstruieren?" "Warum kann Winkel nicht dreigeteilt werden." (wieder nur mit und Lineal) und "Warum gibt es keine Formel zur Berechnung der Nullstellen von Polynomen oder höherem Grad die nur mit den Grundrechenarten und Wurzelziehen auskommt?" (Der Satz von

Klassischer Ansatz

Was genau verstehen wir unter "Symmetrie Nullstellen von Polynomen"? Eine solche Symmetrie ist Permutation der Nullstellen sodass jede algebraische Gleichung dann noch gültig ist nachdem man die vertauscht hat. Diese Permutationen bilden eine Gruppe. von den Koeffizienten die wir in den Gleichungen erlauben erhalten wir unterschiedliche Galoisgruppen.

Betrachten wir beispielsweise das Polynom 2(x 2 -5) 2 -24. Wir wollen die Galoisgruppe dieses Polynoms dem Körper der rationalen Zahlen" beschreiben (d.h. wollen nur rationale Zahlen in den Koeffizenten invarianten algebraischen Gleichungen erlauben.) Die Wurzeln der sind

<math>a = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math>
<math>b = \sqrt{2} - \sqrt{3}</math>
<math>c = -\sqrt{2} + \sqrt{3}</math>
<math>d = -\sqrt{2} - \sqrt{3}</math>.

Es gibt 24 Möglichkeiten diese vier zu permutieren aber nicht alle dieser Permutationen Elemente der Galoisgruppe. Alle Gleichungen die die a b c und d enthalten müssen durch die Galoisgruppe invariant Eine solche Gleichung ist a + d =0. Deshalb ist die Permutation die a und b gleich lässt und c und d vertauscht nicht erlaubt da durch diese a auf a abgebildet wird und d auf c aber a + c nicht 0 ist.

Weniger offensichtlich ist die Tatsache dass a + b ) 2 =8. Deshalb können wir ( a b ) auf ( c d ) abbilden da wir auch ( c + d ) 2 =8 haben. Aber wir können nicht ( a b ) auf ( a c ) abbilden da ( a + c ) 2 =12. Andererseits können wir ( a b ) auf ( c d ) abbilden obwohl a + b =2√2 und c + d =-2√2 da die Gleichung a + b =2√2 eine irrationale Zahl enthält (√2) und für solche Gleichungen nicht verlangt haben dass Galoisgruppe diese invariant lässt.

Nimmt man diese Informationen alle zusammen erhält man dass die Galoisgruppe nur die vier Permutationen enthält und isomorph zur kleinschen ist:

(a b c d) -> (a b d)
(a b c d) -> (c d b)
(a b c d) -> (b a c)
(a b c d) -> (d c a)

Moderner Ansatz

Beim modernen Ansatz wurde der Formalismus wenig geändert um eine präzise und allgemeinere zu erhalten: Man beginnt mit einer Körpererweiterung L / K und definiert die Galoisgruppe als die aller Körperautomorphismen von L welche die Elemente von K fest halten. Im Beispiel oben berechnen die Galoisgruppe der Körpererweiterung Q ( a b c d )/ Q .

Die Kenntnisse über auflösbare Gruppen in Gruppentheorie erlaubt uns herauszufinden ob ein Polynom Radikale auflösbar ist und zwar abhängig davon dessen Galoisgruppe auflösbar ist oder nicht. Jede L / K gehört zu einer Faktorgruppe der Hauptreihe der Galoisgruppe. Falls eine der Hauptreihe zyklisch von Ordnung n ist ist die zugehörige Körpererweiterung eine Erweiterung und die Elemente von L können als die n -ten Wurzeln eines Elements aus K aufgefasst werden.

Wenn alle Faktorgruppen der Hauptreihe zyklisch wird die Galoisgruppe als auflösbar bezeichnet und Elemente des zugehörigen Körpers können durch sukzessives Produktbilden und Summieren aus den Elementen des (normalerweise Q ) erhalten werden.

Einer der größten Triumphe der Galoistheorie der Beweis dass für jedes n >4 ein Polynom mit Grad n existiert welches nicht durch Radikale auflösbar Dies beruht auf der Tatsache dass für n >4 die Symmetrsche Gruppe S n einen einfachen nichtzyklische Normalteiler enthält.

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