Ganze Zahlen

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Die ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen .

Die Menge der ganzen Zahlen umfasst alle natürlichen mit Null {0 1 2 ...} sowie die Negativen aller natürlichen Zahlen {-1 -2 ...} ist gleich 0 wird daher nicht separat

Für die Menge der ganzen Zahlen das Symbol Z (stark betont dargestellt) verwendet (es steht "Zahlen"). Weil dies handschriftlich nicht darstellbar ist sich das Symbol <math>\mathbb{Z}</math> eingebürgert.

Der Zweig der Mathematik der sich mit Eigenschaften der ganzen beschäftigt heißt Zahlentheorie .

Eigenschaften

Die ganzen Zahlen bilden einen Ring bezüglich der Addition und der Multiplikation d.h. sie können ohne Einschränkung addiert subtrahiert und multipliziert werden. Dabei gelten Rechenregeln das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für Addition und außerdem gelten die Distributivgesetze .

Durch die Existenz der Subtraktion können Gleichungen der Form

a + x = b

mit natürlichen Zahlen a und b stets gelöst werden: x = b - a . Beschränkt man x auf die Menge der natürlichen Zahlen ist nicht jede solche Gleichung lösbar.

Abstrakt ausgedrückt heißt das die ganzen Zahlen einen kommutativen unitären Ring . Das neutrale Element der Addition ist 0 das additiv inverse Element von n ist - n das neutrale Element der Multiplikation ist

Die Menge der ganzen Zahlen ist total geordnet in der Reihenfolge

... < -2 < -1 < 0 1 < 2 < ...

d.h. man kann je zwei ganze vergleichen. Man spricht von positiven (1 2 3 ...) nichtnegativen (0 1 2 3 ...) negativen (... -2 -1) und nichtpositiven (... -2 -1 0) ganzen Zahlen. Zahl 0 selbst ist weder positiv noch Diese Ordnung ist verträglich mit den Rechenoperationen d.h.

ist a < b und c ≤ d dann ist a + c < b + d

ist a < b und 0 < c dann ist ac < bc .

Wie die Menge der natürlichen Zahlen auch die Menge der ganzen Zahlen abzählbar .

Die ganzen Zahlen bilden keinen Körper denn z.B. ist die Gleichung 2 x = 1 nicht in Z lösbar. Der kleinste Körper der Z enthält ist Q .

Eine wichtige Eigenschaft der ganzen Zahlen die Existenz einer Division mit Rest . Aufgrund dieser Eigenschaft gibt es für ganze Zahlen stets einen größten gemeinsamen Teiler den man mit dem Euklidischen Algorithmus bestimmen kann. Mathematiker sagen Z ist ein Euklidischer Ring . Hieraus folgt auch der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung in Z .

Konstruktion aus den natürlichen Zahlen

Ist die Menge der natürlichen Zahlen dann kann man die Menge der ganzen in folgender Weise aus ihr gewinnen:

Wir betrachten die Menge N × N aller Paare natürlichen Zahlen und definieren folgende Äquivalenzrelation :

( a b ) ~ ( c d ) gdw. a + d = c + b

Außerdem definieren wir eine Addition und in dieser Menge:

( a b ) + ( c d ) := ( a + c b + d )

( a b ) · ( c d ) := ( ac + bd ad + bc )

Die Menge der Äquivalenzklassen nennen wir Z := N × N /~ die Äquivalenzklasse eines Paares ( a b ) schreiben wir als ( a - b ). Die Addition und Multiplikation der Paare nun wohldefinierte Verknüpfungen auf Z mit denen Z zu einem Ring wird. In diesen Ring kann den die natürlichen Zahlen so einbetten:

n -> ( n - 0)

Eine ganze Zahl heißt dann negativ sie von der Form (0 - n ) ist mit einer natürlichen Zahl n >0.

Diese Konstruktion funktioniert unabhängig davon ob N die 0 enthält oder nicht.

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Konstruktion aus den natürlichen Zahlen

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