Geometrie

Allgemein beschreibt Geometrie eine Menge von Punkten ohne spezifische Eine Unterscheidung kann aufgrund der lokalen Dimensionalität Geometrie getroffen werden:

• Eine Kurve beschreibt eine Geometrie die lokal eindimensionale Struktur besitzt.
• Eine Fläche beschreibt eine Geometrie die lokal zweidimensionale Struktur besitzt.
• Ein Körper bzw. ein Volumen beschreibt eine die lokal eine dreidimensionale Struktur besitzt.

Es gibt nicht eine einzige Geometrie sondern viele als Geometrie bezeichnete Systeme in der Mathematik die jeweils ihre Axiome besitzen.

Die der Anschauung zugänglichste euklidische Geometrie macht Aussagen über Kreise Dreiecke die Platonischen Körper etc.

Inhaltsverzeichnis

1 Themenbereiche 1.1 Geometrien 1.2 Verbindung von Geometrien mit anderen Zweigen Mathematik 1.3 Tätigkeiten und Werkzeuge in der Geometrie 1.4 Geometriesoftware 2 Geschichte der Geometrie 3 Literatur 4 Weblinks

Themenbereiche

Geometrien

Verschiedene Klassifikationen sind möglich:

Klassifikation nach den gültigen Axiomen (vergleiche Artikel Euklidische Geometrie Euklids Elemente ):

• Geordnete Geometrie : Jede Geometrie in der die ersten der fünf Euklidischen Postulate gelten.
• Projektive Geometrie
• Affine Geometrie
• Absolute Geometrie : Jede Geometrie in der die ersten der fünf Euklidischen Postulate gelten.
• Euklidische Geometrie : Absolute Geometrie in der das Parallelenpostulat gilt.
• Nichteuklidische Geometrie : Absolute Geometrie in der das Parallelenpostulat nicht gilt.

Klassifikation nach den Transformationsgruppen unter denen geometrische Eigenschaften invariant bleiben ( Felix Klein Erlangener Programm):

• Projektive Geometrie Invarianten: Punkt Gerade.
• Affine Geometrie zusätzliche Invarianten: Parallelität Teilverhältnis Flächeninhaltsverhältnis.
• Ähnlichkeitsgeometrie zusätzliche Invarianten: Streckenverhältnis Winkel.
• Kongruenzgeometrie zusätzliche Invariante: Streckenlänge.

Noch nicht einsortiert:

• Hyperbolische Geometrie

Verbindung von Geometrien mit anderen Zweigen Mathematik

• Differentialgeometrie
• Vektor - und Tensorrechnung
• Analytische Geometrie
• Stochastische Geometrie
• Fraktale Geometrie
• Algebraische Geometrie
• Topologie
• Algorithmische Geometrie
• Planimetrie
• Trigonometrie
• Mathematische Kartografie
• Abbildungsgeometrie
• Integralgeometrie

Tätigkeiten und Werkzeuge in der Geometrie

• Zirkel (Gerät) und Lineal
• Geodreieck
• Computer
• Spiegeln Verschieben Drehen
• Messen von geometrischen Größen wie Länge Winkel Fläche ...
• Geometrie im Koordinatensystem mit Angabe der
• Kegelschnitte als Konstruktionsobjekte

Geometriesoftware

Interaktive Geometrieprogramme wie GEONExT (Kostenlos unter www.geonext.de ) Euklid Cabri-Geometre Geometer's Sketchpad Cinderella (kostenlos unter [1] ) u.a. ermöglichen die zeichnerische Erforschung der ohne auf eine Vorgabe festgelegt zu sein.

Interaktiv bedeutet hier dass eine einmal festgelegte Konstruktion erhalten bleibt auch wenn man die verändert.

Zitat: "Die Geometrie ist vor der Erschaffung Dinge gleich ewig wie der Geist Gottes und hat in ihm die Urbilder für Erschaffung der Welt geliefert." ( Johannes Kepler Harmonices Mundi 1619)

Geschichte der Geometrie

In den frühen Hochkulturen gaben

• Landvermessung
• astronomische Beobachtungen und
• der Bau von Tempeln Pyramiden und

Es mussten

• Winkel gemessen und konstruiert
• Flächen- und Rauminhalte berechnet

Die Griechen schufen mit Axiomen und abgeleiten Lehrsätzen und der Logik des Aristoteles die Grundlage für den der in Mesopotamien und Ägypten empirisch gewonnenen Ergebnisse. Sie machten die zu einer Wissenschaft und benutzten sie zum algebraischer und zahlentheoretischer Aussagen. Euklid fasste neben anderen Dingen auch die bekannten Kenntnisse in der Geometrie in seinem "Die Elemente" zusammen. "Die Elemente" waren bis die Neuzeit das grundlegende Werk zur Geometrie.

Im Mittelalter erhielt die Geometrie im der Trigonometrie (Dreickslehre) neuen Aufschwung in Indien und den Ländern des Islam.

In der Neuzeit verlagert sich die der Geometrie wieder nach Europa.

• Im 17. Jh. entsteht die analytische und
• im 18. Jh. die Differentialgeometrie als zur Analysis.
• Das 19. Jh. bringt wieder eine Hinwendung zur klassischen Geometrie. Das euklidische Parallelenpostulat wird durch Angabe nichteuklidischer Geometrien abgeändert. werden die Klassische Probleme Der Antiken Mathematik (Quadratur des Kreises Würfelverdopplung Dreiteilung des mit algebraischen Methoden gelöst.

In der Topologie der Graphentheorie und algebraischen Geometrie werden Methoden der Geometrie mit Zweigen der Mathematik verknüpft.

Im 20. Jh. wird die Geometrie moderne Axiomensysteme neu begründet. Durch die fraktale Geometrie wurde es möglich auch natürliche Gegenstände Bäume Berge oder Wolken geometrisch zu modellieren.

Die Darstellende Geometrie ist in Gestalt Computersimulation zu einem wichtigen Hilfsmittel in vielen unseres Lebens geworden.

Literatur

Euklid . Die Elemente .

H. M. S. Coxeter. Introduction to

Weblinks

• http://www.anderegg-web.ch/griechische-geometrie.htm
• http://geochron.geologie.univie.ac.at/maths/daten/kap_3/kap_3.htm
• http://www.rittershofer.de/mathe/geo/index.htm
• http://www.pythagoras-melchizedek.de/Eingang.htm Heilige Geometrie
• http://www.uni-hildesheim.de/~djafari/
• http://education.ti.com/deutschland/produkte/prosupport/faqs/cabri_000.html
• http://www.geogebra.at/
• http://cinderella.de

Siehe auch: Geometrie/Geometrische Figuren

Bücher zum Thema Geometrie

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