Geometrische Reihe

Eine Geometrische Reihe ist eine Summe von Ausdrücken wobei aufeinanderfolgende Ausdrücke das selbe Verhältnis haben. Zum ist

4 + 8 + 16 + 32 64 + 128 + 256 ...

Die Summe einer geometrischen Reihe kann der Formel

<math>\sum_{k=m}^n x^k=\frac{x^{n+1}-x^m}{x-1}</math>

Mit Hilfe der Formel kann obenstehende berechnet werden: (2 ⁹ - 2 ² )/(2 - 1) = 508. Die Formel auch für die Berechnungen von Zinszahlungen sinnvoll: man zahlt jährlich 2.000 € bei der ein und die Zinsen liegen bei 5%. Geld hat man nach 6 Jahren?

2.000 · 1 05 ⁶ + 2.000 · 1 05 ⁵ + 2.000 · 1 05 ⁴ + 2.000 · 1 05 ³ + 2.000 · 1 05 ² + 2.000 · 1 05 ¹

= 2.000 · (1 05 ⁷ - 1 05)/(1 05 - 1)

= 14.284 02

Eine unendliche geometrische Reihe ist eine unendliche Reihe wobei zwei aufeinanderfolgende Ausdrücke das selbe haben. So eine Reihe konvergiert genau dann das Verhältnis kleiner als Eins ist; der kann dann mit der Formel

<math>\sum_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}</math>

berechnet werden. Diese ist gültig für x | < 1; das folgt aus der Formel für endliche geometrische Reihen wenn man Grenzwert für n →∞ bildet.

Die letzte Formel ist sogar in Banach-Algebra gültig solange die Norm von x kleiner als 1 ist.

weitere nützliche Formel:

<math>\sum_{k=0}^\infty k\cdot x^k=\frac{x}{(1-x)^2}</math>

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