Geordnete Geometrie

Die Affine Geometrie die Projektive Geometrie die Absolute Geometrie sowie die Euklidische und die Nichteuklidische Geometrie sind alle Spezialfälle der Geordneten Geometrie.

Die Geordnete Geometrie beschränkt sich auf

• das Konzept eines Punktes (z.B. A B C ...) und
• das Konzept des Dazwischen (z.B. B ist zwischen A und C geschrieben als [ ABC ]).

Das entspricht den ersten beiden Axiomen der Euklidischen Geometrie .

• Man kann eine gerade Strecke von Punkt zu einem anderen Punkt ziehen.
• Man kann eine Strecke kontinuierlich zu Strahl verlängern.

Daraus entstehen Begriffe wie

• das Segment AB (die Menge aller Punkte P für die [ APB ] gilt)
• die Strecke AB (das Segment AB einschließlich A und B )
• der Strahl AB (die Menge aller Punkte P für die [ PAB ] gilt)
• die Gerade AB (die Vereinigung des Strahls AB der Strecke AB und des Strahls BA ) und
• das Dreieck ABC (Wenn A B und C nicht alle auf einer Geraden liegen).

Die Geordnete Geometrie wird durch die Axiome exakt definiert:

1. Axiom: Es gibt mindestens zwei Punkte.

2. Axiom: Wenn A und B unterschiedliche Punkte sind dann gibt es einen Punkt C so dass [ ABC ].

3. Axiom: Wenn [ ABC ] dann A ungleich C .

4. Axiom: Wenn [ ABC ] dann [ CBA ] aber nicht [ BCA ].

5. Axiom: Wenn C und D unterschiedliche Punkte auf der Geraden AB sind dann ist A auf der Geraden CD .

Bislang konnten theoretisch alle Punkte der auf einer Geraden liegen. Um diese 'langweilige' Geometrie auszuschließen man

6. Axiom: Wenn die Gerade AB existiert dann gibt es einen Punkt C außerhalb der Geraden AB .

Das folgende 7. Axiom stellt auf sehr 'verborgene' Weise sicher dass es zwischen beliebigen Punkten immer noch (mindestens) einen weiteren gibt. Die direkte axiomatische Forderung nach 'Zwischenpunkten' zu axiomatischen Problemen die hier nicht diskutiert können.

7. Axiom: Wenn ABC ein Dreieck ist und [ BCD ] und [ CEA ] gilt dann existiert auf der Geraden DE ein Punkt F für den [ AFB ] gilt.

Weiterhin muss sichergestellt sein dass die 'kontinuierlich' sind d.h. dass keine Lücken auftreten. tiefere Diskussion dieses Konzeptes findet sich in Analysis die den analoge Unterschied zwischen rationalen Zahlen und reellen Zahlen beleuchtet.

8. Axiom: (Informal) Die Punkte auf einer Geraden liegen dicht (im Sinne des Grenzwertsatzes).

Bislang wurde noch gar nicht über Dimension des von der Geometrie beschriebenen Raumes gesprochen. Sie wird ebenfalls axiomatisch festgelegt:
2 Dimensionen:

9. Axiom: Alle Punkte liegen in einer Ebene.

9. Axiom: Wenn ABC ein Dreieck bilden dann gibt es Punkt D außerhalb der durch das Dreieck aufgespannten

10. Axiom: Alle Punkte liegen im 3-dimensinalen Raum.

10. Axiom: Wenn ABCD einen 3-Dimensionalen Tetraeder bilden dann gibt es einen Punkt E außerhalb des durch den Tetraeder aufgespannten

11. Axiom: Alle Punkte liegen im 4-dimensinalen Raum.

Dieses Schema kann bis zu beliebigen Dimensionen fortgeführt

Literatur

H. S. M. Coxeter. Introduction to John Wiley & Sons 1969.

O. Veblen. The Foundations of Geometry. I of J. W. Young's Monographs on Topics of Modern Mathematics Longmans Green New York 1911.

Bücher zum Thema Geordnete Geometrie

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