Geordneter Körper

In der Mathematik ist ein geordneter Körper ein Körper ( K + *) mit einer totalen Ordnung <= die verträglich ist mit den d.h.

• aus a <= b folgt a + c <= b + c
• aus 0 <= a und 0 <= b folgt 0 <= ab

Elemente die größer sind als 0 positiv Elemente kleiner als 0 heißen negativ .

Aus den Axiomen folgen unter anderem Eigenschaften (für alle a b c d aus K ):

• Das Negative eines positiven Elements ist und das Negative eines negativen Elements ist Für jedes a aus K gilt entweder - a <= 0 <= a oder a <= 0 <= - a .
• Man darf Ungleichungen addieren: Aus a <= b und c <= d folgt a + c <= b + d .
• Man darf Ungleichungen mit positiven Elementen Aus a <= b und 0 <= c folgt ac <= bc .
• Quadratzahlen sind nichtnegativ: 0 <= a ² . Insbesondere ist 0 < 1.
• Mit Induktion kann man folgern dass jede endliche von Einsen positiv ist: 0 < 1+1+...+1. folgt wiederum dass die Charakteristik von K gleich 0 ist.

Jeder Teilkörper eines angeordneten Körpers ist Wie für jeden Körper der Charakteristik 0 der kleinste enthaltene Körper isomorph zu den rationalen Zahlen und die Ordnung auf diesem Teilkörper dieselbe wie die natürliche Anordnung auf Q .

Wenn jedes Element eines angeordneten Körpers zwei rationalen Zahlen liegt dann heißt der archimedisch (wenn es also zu jedem Element größere und eine kleinere rationale Zahl gibt). Beispiel sind die reellen Zahlen archimedisch jedoch sind die hyperreellen Zahlen nicht-archimedisch.

Bezüglich der von der Ordnung auf K induzierten Topologie sind die Operationen + und * (Die Topologie wird erzeugt von den offenen { c | c < a } und { c | c > a } für alle a .)

Beispiele angeordneter Körper sind die folgenden:

• rationale Zahlen
• reelle Zahlen (und alle Teilkörper davon)
• hyperreelle Zahlen

Die surrealen Zahlen bilden zwar eine echte Klasse und keine Menge erfüllen aber ansonsten alle Axiome eines Körpers. Jeder angeordnete Körper kann in die Zahlen eingebettet werden.

Endliche Körper können nicht angeordnet werden da ihre nicht 0 ist. Die komplexen Zahlen können nicht angeordnet werden da sie i eine Wurzel von -1 enthalten (-1 als Quadratzahl positiv es gilt aber -1 0 <= 1). Die p-adischen Zahlen können nicht angeordnet werden da sie p>2 eine Quadratwurzel von 1 - p und für p=2 eine Quadratwurzel von - 7 enthalten.

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