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Geschichte der MathematikDieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.
Allgemeine Entwicklung der Mathematik
Mathematik der Ägypter und BabylonierÄgyptenDie wichtigsten erhaltenen Quellen die uns über die mathematischen Fähigkeiten der Ägypter geben der Papyrus Rhind der Papyrus Moskau und die so genannte Lederrolle .Die Ägypter verwendeten die Mathematik hauptsächlich praktische Aufgaben wie die Lohnberechnung die Berechnung Getreidemengen zum Brotbacken oder Flächenberechnungen . Sie kannten die vier Grundrechenarten durch Rückführung auf Addition Stammbrüche und das Lösen von Gleichungen mit einer Variablen . In der Geometrie waren ihnen die Berechnung der Flächen von Dreiecken Rechtecken und Trapezen (16/9)² als Näherung der Kreiszahl π (pi) und die Berechnung des Volumens eines quadratischen Pyramidenstumpfs durch V=(a²+a*b+b²)*(h/3) bekannt. Sie besaßen allerdings keine Mathematik im Sinn die eine strikte Beweisführung vorschreibt.
BabylonDie Babylonier verwendeten ein Sexagesimal - Stellenwertsystem (60er System) für die Darstellung vonSie benutzten Addition Subtraktion und Multiplikation ähnlich wie heute und führten die Division auf Multiplikation mit dem Kehrwert zurück. Neben der Erfindung eins Algorithmus für Berechnung von Quadratwurzeln legten sie Zahlen tabellen (z.B. für Quadrate Kuben Quadratwurzeln Kubikwurzeln und Logarithmen ) an. Sie berechneten Zwischenwerte durch lineare und konnten einfache Gleichungssysteme lösen. Als Näherung π benutzten die Babylonier 3+1/8. Auch sie führten keine Beweise besaßen aber größere Kenntnisse als die
Mathematik der klassischen AntikeDie Mathematik der klassischen Antike teilt in vier große Perioden:
Die Geschichte der Mathematik als Wissenschaft mit Pythagoras . Sein programmatischer Ausspruch in dieser Hinsicht "Alles ist Zahl". Das kann so interpretiert dass die ganze Wirklichkeit mit mathematischen Formeln werden kann. Er gründete eine eigene sektenähnliche deren Mitglieder nach strengen Regeln lebten und der Mathematik widmeten. Mit Pythagoras hält auch Methodik des Beweisen Einzug in die Mathematik. wichtigesten Erkenntnisse der Pythagoraner waren u.a. der Satz des Pythagoras und der Beweis der Irrationalität von \sqrt{2} </math>. Letztere war von besonderer Brisanz wurde geheimgehalten da die Griechen keine irrationalen kannten und diese Aussage damit der Idee alles Zahl ist doch sehr widerspricht. Bei den Athenern stand die Mathematik im Kurs auch wenn es keine Beiträge Platon gab so war seine Ideenlehre sehr einflussreich für die Philosophie der Platons Ideenhimmel passte sehr gut zu den Objekten der Mathematik. Aristoteles formulierte die Grundlagen Aussagenlogik. Eudoxos schuf mit der Exhaustionsmethode zum Mal eine rudimentäre Form der Infinitesimalrechnung. Wegen Fehlen von reelen Zahlen und Grenzwert war Methode allerdings recht unhandlich. Archimedes erweiterte dies berechnete damit unter anderem eine Näherung für Pi . Euklid schrieb das erste Lehrbuch der Mathematik. seinen "Elementen" fasste er einen Großteil der damals Mathematik (Geometrie und Zahlentheorie) zusammen. Unter anderem darin bewiesen dass es unendlich viele Primzahlen Diese Werk gilt als Musterbeispiel für die Methode und folgerichtiges Beweisen: Aus wenigen Axiomen alle Ergebnisse streng hergeleitet. Euklids Elemente wird noch heute nach über 2000 Jahren als verwendet.
Im Unterschied zu Griechenland spielte im Rom die Mathematik kaum eine Rolle und als minder bedeutend. Auch die Mathematiker der waren ausschliesslich von den Griechen beeinflusst.
Chinesische und indische MathematikChinasiehe auch: chinesische MathematikDas erste noch erhaltene Lehrbuch chinesischer ist "Chou Pei Suan Sing". Es entstand 1200 v. Chr. und 100 v. Chr. und enthält einen Dialog zwischen einem und einem Minister über den Kalender . Fast genauso alt ist "Chiu Chang Shu" ("Neun Kapitel über mathematische Kunst") welches Aufgaben über verschiedene Bereiche enthält. Dezimalzahlen wurden mit "Bambusziffern" geschrieben; um 300 Chr. errechnete Liu Hui über ein 3072-Eck die Zahl 3 14159 als Näherung π. Den Höhepunkt erreichte die chinesische Mathematik 13. Jahrhundert . Der bedeutendste Mathematiker dieser Zeit war Shi-Kie mit seinem Lehrbuch "Szu-yuem Yü-kien" ("Kostbarer der vier Elemente") das algebraische Gleichungssysteme und algebraische Gleichungen vierzehnten Grades behandelte diese durch eine Art Hornerverfahren löste. Nach Periode kam es zu einem jähen Abbruch Mathematik in China. Um 1600 griffen Japaner die Kenntnisse auf. Ihr bedeutendster Mathematiker Seki Kowa (um 1700). Mathematik wird als Tempelwissenschaft betrieben.
IndienErste erhaltene Quellen wurden auf ca. 800 v. Chr. datiert beispielsweise "Sulvasutras" ("Seilregeln" geometrische Methoden Konstruktion von Opferaltären) um 500 v. Chr. das Aryabhatiya und um 400 v. Chr. "Siddhantas" ("Systeme" hauptsächlich astronomische Aufgaben). Die Inder verwenden ab 595 n. Chr. ein dezimales Positionssystem die Ziffer 0 wurde aber erst etwa 200 Jahre eingeführt. Mit der Ausbreitung des Islams nach übernimmt um 800 n. Chr. die arabische Welt viele der indischen Erkenntnisse arabische Wissenschaftler indische Werke ins Arabische die über diesen auch nach Europa gelangen. Ein Buch von ibn Musa al-Chwarizmi wird 12. Jahrhundert in Spanien ins Lateinische übersetzt; erste Verwendung der "figurae Indorum" italienischen Kaufleuten; um 1500 bekannt in Deutschland; bedeutenden Mathematiker: Brahmagupta (um 600) Bhaskara (um Buch "Lilavati"); ab 1200 n. Chr. Niedergang;
Mathematik der AraberIn der arabischen Welt bildete für Mathematik die Hauptstadt Baghdad das Zentrum der Wissenschaft. Die arabischen übernahmen die indische Positionsarithmetik und den Sinus und entwickelten die griechische und indische Trigonometrie weiter ergänzten die griechische Geometrie und und kommentierten die mathematischen Werke der Griechen. bedeutendste mathematische Leistung der Araber ist die der heutigen Algebra.Diese Kenntnisse gelangten über Spanien und italienischen Seehandel nach Europa dort (z.B. in wurden viele der arabischen Schriften ins Lateinische
Mathematik der MayaDie einzige schriftliche Überlieferung der Mathematik Maya stammt aus dem Dresden Kodex. Das der Mayas beruht auf der Basis 20. Grund dafür wird vermutet dass die Vorfahren Mayas mit Fingern und Zehen zählten. Die kannten die Zahl 0 aber verwendeten keine Für die Darstellung von Zahlen verwendeten sie und Striche und Kreise die für die 1 5 und 0 standen. Die Mathematik Mayas war hochentwickelt vergleichbar mit den Hochkulturen Orient. Sie verwendeten sie zur Kalenderberechnung und die Astronomie. Der Maya-Kalender war der genaueste Zeit.
Mathematik in Europa
Mathematik des MittelaltersDas Mittelalter war für die Mathematik wahrhaft dunkles Zeitalter. Es gab kaum neue vor allem das unhandliche römische Zahlensystem stand Höherentwicklung im Weg. Ausserdem beschäftigten sich die Geistesgrößen der Zeit lieber mit überirdischen Überlegungen Gottesbeweise und wieviele Engel auf einer Nadelspitze haben.
Mathematik der RenaissanceIm Zuge der Reconquista werden die Mauren aus Europa vertrieben. Mathematik lassen sie zurück und sie beeinflusst der Folge die europäische Mathematik grundlegend. Begriff Algebra Algorithmus sowie die arabischen Ziffern gehen zurück. In Deutschland erklärt der sprichwörtliche Adam seinen Landsleuten in der Landessprache das Rechnen die Verwendung der arabischen Ziffern statt den wird populär. In Frankreich entdeckt Rene Descartes dass man Geometrie die bis dahin Euklid gelehrt wurde auch mit Zahlen beschreiben Alles was dazu nötig ist sind zwei Linien und eine Längeneinteilung darauf. Damit war kartesische Koordinatensystem geboren. Vieta verwendet als erster Variablen . Damit wird die Algebra weiter formalisiert. Pierre de Fermat findet neben seinem Beruf als Richter Resultate in der Zahlentheorie. Er behauptet dass Gleichung <math> x^n + y^n = z^n keine ganzahligen Lösungen hat falls <math> n 3</math>. Am Rand seiner Ausgabe von Diophantes schreibt er dazu den Satz der für von Mathematikern zum Albtraum wurde: "Ich habe wunderbaren Beweis gefunden doch leider ist dafür Rand zu schmal". 400 Jahren lang beissen die besten Köpfe die Zähne daran aus angeblichen Beweis zu finden. In Italien finden Cardano und Tartaglia die Formel für die Lösungen der algebraischen Gleichung. Galileo Galilei entdeckt dass sich Kräfte wie Vektoren damit wird die Vektorrechnung zusammen mit den Koordinaten ein wichtiger Teil der Physik.
Mathematik des BarockEine der weitreichensten Entdeckungen der Mathematik geboren die Infinitesimalrechnung . Unabhängig voneinander entwickeln Isaac Newton und Leibniz den Begriff der Ableitung . Newton beschreibt damit in seinem Hauptwerk naturlis" seine grundlegenden Gleichungen der Physik. Um Problematik der unendlich kleinen Größen beizukommen argumentiert dabei hautsächlich über Geschwindigkeiten. Leibniz geht den Weg er postuliert seine Monaden und kommt zur Differentialrechnung. Er erfindet auch die Bezeichungen und das Zeichen für das Integral. Zwischen beiden kommt es später zu einer langwierigen Urheberrechtsstreit. Letztendlich erweist sich die Leibnizsche Symbolik dauerhafter. Mit der Infinitesimalrechung ist die Analysis Zusammen mit den Newtonschen Gleichungen kann bald gesamte Mechanik und Astronomie mit mathematischen Mitteln werden.
Mathematik der AufklärungDie Methoden der Infinitesimalrechung werden weiter auch wenn ihre Grundlagen auf tönernen Füßen wie einige Philosophen zum Beispiel George Berkeley scharf kritisieren. Einer der produktivsten Mathematiker der Zeit der Schweizer Leonhard Euler . Neben seinen Beiträgen zur Analysis führt als erster das Symbol i für <math> \sqrt{-1} </math> ein. Auch sich keiner eine Zahl deren Quadrat negativ vorstellen kann wird die Verwendung dieser Größe populär und damit werden die komplexen Zahlen in die Mathematik eingeführt. Außerdem spekuliert wie eine "Analysis situ" aussehen kann also Beschreibung von Objekten ohne Verwendung von genauen Diese Idee wird schließlich zum Theoriegebäude der Topologie ausgebaut. Eulers erster Beitrag dazu war Lösung des "Königsberger Brückenproblems" und sein Polyedersatz. weiterer fudamentalen Zusammenhang zwischen zwei entfernten Gebieten Mathematik der Analysis und der Zahlentheorie geht auf ihn zurück. Die Verbindung von bestimmten Potenzreihen und Primzahlen die Bernhard Riemann in der Riemannschen Vermutung verwendet entdeckt Euler als erster. Weitere Beträge zur Analysis der Zeit von den Bernoullis auf französischer Seite von Pascal Fourier Laplace Lagrange d_Alembert wo viele bedeutende Mathematiker von der Universität angezogen werden. In England werden von Bayes wichtige Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie gelegt. Ab dem 19. Jahrhundert werden die Grundlagen der mathematischen Begriffe und fundiert. Cauchy begründet die <math> \epsilon-\delta </math> Definition Grenzwertes . Damit hat der skrupellose Umgang mit nach 2000 Jahren endlich ein Ende. Außerdem er den Grundlage der Funktionentheorie . Die Verwendung komplexen Zahlen wird von und Kronecker algebraisch fundiert. Der Legende nach schreibt der Franzose Evariste Galois am Vorabend eines für ihn tödlich Duells seine Galoistheorie nieder. Zu seiner Zeit von wenigen wird diese ein mächtiges Hilfsmittel in der Mit Hilfe der Galoistheorie werden die 3 Problem der Antike als nicht lösbar erkannt. Die Algebraiker erkennen dass man nicht mit Zahlen rechnen kann. Alles was man sind Verknüpfungen. Diese Idee wird in Gruppen Ringen und Körpern formalisiert. Der Norweger Sophus Lie untersucht die Eigenschaften von Symmetrien . Durch seiner Theorie werden algebraische Ideen die Analysis und Physik eingeführt. Die moderne Quantentheorie beruht im wesentlichen auf Symmetriegruppen. In Göttingen wirken zwei der einflussreichsten Mathematiker der Gauss und Riemann . Neben fundamentalen Erkenntnissen in der Analysis Funktionentheorie schaffen sie und Andere die Differentialgeometrie - Geometrie wird mit analytischen Methoden Auch wird dank ihres Mitwirkens zum ersten Euklids Geometrie neu überarbeitet: die Nichteuklidische_Geometrie entsteht. Georg Cantor überrascht mit der Erkenntnis dass es als eine "Unendlichkeit" geben kann. Er definiert ersten Mal was eine Menge ist und wird somit der Gründer der Mengenlehre . Nach tausenden von Jahren erfährt die Logik eine Runderneuerung. Gottlob_Frege erfindet die Prädikatenlogik die erste Neuerung auf diesem Gebiet Aristoteles. Zugleich bedeuten seine Arbeiten den Anfang Grundlagenkrise in der Mathematik.
Moderne MathematikDie moderne Mathematik entsteht aus dem die Grundlagen dieser Wissenschaft ein für allemal festigen. Allerdings beginnt alles mit einer Krise des 20. Jahrhunderts: Bertrand Russell erkennt die Bedeutung von Freges Arbeiten. entdeckt er allerdings auch unlösbare Widersprüche darin Russellsche_Antinomie ). Diese Erkenntnis erschüttert die gesamte Mathematik. es nur einen einzigen widersprüchlichen Satz in Mathematik gibt fällt die ganze Wissenschaft wie Kartenhaus zusammen. Sollte der Packesel Mathematik der viele gute Dienste geleistet hat unter Cantors erdrückt werden? Mehrere Versuche zur Rettung werden Russel und Alfred_North_Whitehead versuchen in ihrem mehrtausendseitigen Werk "Principia mit Hilfe der Typentheorie ein Fundament aufzubauen. Alternativ dazu begründen Ernst Zermelo und Adolf Fraenel die Mengenlehre axiomatisch Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ). Letztere setzt sich durch weil ihre Axiome wesentlich handlicher sind als die schwere Mathematica". Der Zweifel an den Grundlagen bleibt bestehen. Es bedurfte eines Geistesriesen um den Ausweg aus der Situation zu finden. Dieser in Form von David Hilbert von dem gesagt wird dass er lezte war der die gesamte Mathematik überblicken Seine Idee um die Mathematik wasserdicht zu war das mathematische Beweisen selbst mit Hilfe Mathematik zu untersuchen. Schliesslich waren Beweise nur Folge von Symbolen mit vorgegebenen Verknüpfungen und und Verknüpfungen kann man mit mathematischen Methoden Es konnte wieder Hoffnung aufkommen. Diese wurde jedoch jäh von Kurt Gödel zerstört. Sein Gödelscher Unvollständigkeitssatz zeigt dass nicht jeder wahre Satz werden kann. Wahrscheinlich eine der wichtigsten Erkentnisse der Mathematik. Damit war der Traum eine Widerspruchsfreiheit zu finden ausgeträumt. Für die Philosophen diese Erkenntis ein gefundenes Fressen viele sehen den Rationalismus als gescheitert an. Andererseits kann man fragen ob eine Theorie die ihre eigenen erkennt nicht mächtiger ist als eine die nicht kann. Neben der Logik wird die Mathematik abstrahiert. Die polnische Schule mit deren Leitfigur Stefan Banach begründet die Funktionalanalysis . Mit Hilfe der Banachräume und ihren Dualitäten können viele Probleme elegant gelöst werden. Kolmogorov liefert eine axiomatische Begründung die Wahrscheinlichkeit . Die Wahrscheinlichkeit ist für ihn ähnlich Flächeninhalt und kann mit Methoden der Maßtheorie behandelt werden. Damit ist auch dieses logisch einwandfrei. Im 20. Jahrhundert wird fast die Mathematik erfolgreicht auf der Mengenlehre und deren aufgebaut. Die Bourbakis liefern einen wesentlichen Beitrag in dieser Im zweiten Weltkrieg entsteht großer Bedarf der Lösung konkreter mathematischer Probleme beispielsweise bei Entwicklung der Atombombe oder der Entschlüsselung von John von Neumann Alan Turing und andere entwickeln deshalb abstraktes Konzept einer universalen Rechenmaschine. Zuerst nur dem Papier werden diese Ideen bald in Hardware gegossen und der Computer hält Einzug die Mathematik. Dies führt zu einer dramatischen der numerischen Mathematik. Mit Hilfe des Computers nun komplexe Problem die per Hand nicht lösen waren relativ schnell berechnet werden. 1995 kann schließlich Andrew Wiles den Satz Fermat beweisen. Fermats Aussage dass der Beweis auf die Seite seines Buches passt bewahrheitet Wiles' Beweis ist über 100 Seiten lang.
Problemgeschichte von math. Teilgebieten
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