Gesetz der großen Zahlen

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiel: 1 Praktische Bedeutung 2 schwaches Gesetz der großen Zahlen 3 starkes Gesetz der großen Zahlen

Beispiel:

Die Wahrscheinlichkeit dass eine Münze beim Kopf zeigt beträgt ½. Je häufiger die geworfen wird desto näher wird der Anteil Würfe bei denen Kopf erscheint beim theoretischen ½ liegen. Trotzdem kann der absolute Abstand dem theoretischen und dem tatsächlich beobachteten Ergebnis weiter anwachsen. Man kann also aus dem Gesetz der großen Zahlen nicht die Schlussfolgerung wenn ein Ereignis bislang nicht so häufig wie erwartet muss es diesen Rückstand ausgleichen folglich in Zukunft häufiger vorkommen.

Praktische Bedeutung

• Versicherungen: Das Gesetz der großen Zahl hat Versicherungen eine große praktische Bedeutung. Es erlaubt ungefähre Vorhersage über den künftigen Schadensverlauf. Je die Zahl der versicherten Personen Güter und die von der gleichen Gefahr bedroht sind geringer ist der Einfluss des Zufalls .

• Medizin: Beim Wirksamkeitsnachweis von medizinischen Verfahren kann es ausnutzen um Zufallseinflüsse auszuschalten.
• Naturwissenschaften Der Einfluss von Messfehlern kann durch Versuchwiederholungen reduziert werden.

schwaches Gesetz der großen Zahlen

Das schwache Gesetz der großen Zahlen besagt dass für eine unendliche Folge Zufallsvariablen X ₁ X ₂ X ₃ ... die alle den selben Erwartungswert μ und die selbe endliche Varianz σ ² haben sowie unkorreliert sind (d.h. Die Korrelation zwischen zwei beliebigen ist Null) dann die repräsentative Stichprobe

<math>\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n</math>

<math>\lim_{n\rightarrow\infty}P\left(\left|\overline{X}_n-\mu\right|<\varepsilon\right)=1.</math>

starkes Gesetz der großen Zahlen

Das starke Gesetz der großen Zahlen besagt dass für eine unendliche Folge Zufallsvariablen X ₁ X ₂ X ₃ ... die unabhängig und identisch verteilt sowie den selben Erwartungswert μ haben gilt:

<math>P\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{X}_n=\mu\right)=1 </math>

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