Gradient (Mathematik)

Interpretiert man die Höhenkarte einer Landschaft eine Funktion z ( x y ) die jedem Ort die Höhe an Stelle zuordnet dann ist der Gradient von z an einer Stelle ( x y ) ein Vektor der in die Richtung steilsten Anstieges zeigt und dessen Länge ein für die Steilheit ist.

Die Wärmeverteilung einer vom Strom durchflossenen auf einem Mikrochip läßt sie sich durch ein Skalarfeld unterschiedlichen Temperaturen beschreiben. Der negative Gradient dieses Skalarfeldes eines Materialfaktors ist der Wärmefluss. Der Wärmefluss somit ein Vektorfeld welches proportional zum negativen Temperaturgradienten ist.

Gradient wird also ein Vektor genannt jedem Punkt eines Skalarfeldes zugeordnet werden kann. hat die Richtung der Normalen der jeweiligen auf der die Werte des Skalarfeldes konstant und ist in der Richtung wachsender Funktionswerte Skalarfeldes orientiert. Der Betrag des Gradienten stimmt der Richtungsableitung der Funktion des Skalarfeldes in überein.

In den beiden folgenden Bildern stellen Grauschattierungen das Skalarfeld dar wobei schwarz den Funktionswert darstellt und die Pfeile symbolisieren den Gradienten.

Inhaltsverzeichnis

1 Gradient eines Skalarfeldes 2 Jacobi-Matrix eines Vektorfeldes 2.1 Hesse-Matrix 3 Rechenregeln 4 Anwendung

Gradient eines Skalarfeldes

Der Gradient eines Skalarfeldes <math>\varphi\left(\vec r\right)</math> definiert als der Vektor der partiellen Ableitungen . Er existiert daher nur an den an denen <math>\varphi</math> bezüglich aller Koordinaten partiell ist. Er wird als <math>\nabla\varphi</math> oder als geschrieben. Dabei ist <math>\nabla</math> der Nabla-Operator und grad das Funktionssymbol des Gradienten. den Fall eines Skalarfeldes <math>\varphi(x y z)</math> der Gradient in kartesischen Koordinaten definiert als

<math>\operatorname{grad}\ \varphi=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\vec{e}_x+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\vec{e}_y+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{e}_z = \begin{pmatrix} / \partial x \\ \partial\varphi / \partial \\ \partial\varphi / \partial z \end{pmatrix}</math>

Allgemein gilt

<math>\mathrm{grad}\varphi(x_1 \ldots x_n)=\nabla\varphi(x_1 \ldots x_n) = \begin{pmatrix}

Der Gradient kann je nach Verwendungszweck Zeilen- oder Spaltenvektor geschrieben werden.

Jacobi-Matrix eines Vektorfeldes

Der Vektor der partiellen Ableitungen kann für vektorwertige Funktionen definiert werden. Ist <math>\vec{F}:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m</math> vektorwertige Funktion dann seien F ₁ ... F _m ihre Komponentenfunktionen das heißt

<math>\vec F(x_1 ... x_n) = (F_1(x_1 ... ... F_m(x_1 ... x_n))</math>.

Man definiert dann die Ableitung von F</math> als (Spalten-)Vektor der (Zeilenvektor-)Gradienten der F _i . Der Vektorgradient des Feldes ist die

<math>

Für m=n ist das Ergebnis ein Tensor der 2. Stufe. Tensoren dieser Art beispielsweise bei der Beschreibung von mechanischer Spannung Elastizität eine Rolle.

Hesse-Matrix

Mit dieser Verallgemeinerung definiert man die Ableitung eines Skalarfeldes φ(x ₁ .. x _n ) seine Hesse-Matrix:

<math>

Rechenregeln

Rechenregeln ( c : Konstante; u und v : Skalarfelder):

• <math>\operatorname{grad}\ c=\vec{0}</math>
• <math>\operatorname{grad}\ (c\cdot u)=c\cdot\operatorname{grad}\ u</math>
• <math>\operatorname{grad}\ (u+v)=\operatorname{grad}\ u+\operatorname{grad}\ v</math>
• <math>\operatorname{grad}\ (u\cdot v) =u\cdot\operatorname{grad}\ v+v\cdot\operatorname{grad}\ u</math>

Anwendung

Vollständiges oder totales Differential eines Skalarfeldes

Siehe auch: Divergenz (Mathematik) Rotation (Mathematik) .

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