Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier. Der Gradient ist in der mehrdimensionalen Analysis und der Vektoranalysis eine Funktion eines Skalarfeldes welche die Änderungsrate und die Richtung größten Änderung in Form eines Vektorfeldes angibt. Der Gradient ist damit eine der Ableitung für Funktionen von mehreren Variablen. Die beiden Absätze dienen der Veranschaulichung dieser komplexen Zusammenhänge.
Interpretiert man die Höhenkarte einer Landschaft eine Funktion z ( x y ) die jedem Ort die Höhe an Stelle zuordnet dann ist der Gradient von z an einer Stelle ( x y ) ein Vektor der in die Richtung steilsten Anstieges zeigt und dessen Länge ein für die Steilheit ist.
Die Wärmeverteilung einer vom Strom durchflossenen auf einem Mikrochip läßt sie sich durch ein Skalarfeld unterschiedlichen Temperaturen beschreiben. Der negative Gradient dieses Skalarfeldes eines Materialfaktors ist der Wärmefluss. Der Wärmefluss somit ein Vektorfeld welches proportional zum negativen Temperaturgradienten ist.
Gradient wird also ein Vektor genannt jedem Punkt eines Skalarfeldes zugeordnet werden kann. hat die Richtung der Normalen der jeweiligen auf der die Werte des Skalarfeldes konstant und ist in der Richtung wachsender Funktionswerte Skalarfeldes orientiert. Der Betrag des Gradienten stimmt der Richtungsableitung der Funktion des Skalarfeldes in überein.
In den beiden folgenden Bildern stellen Grauschattierungen das Skalarfeld dar wobei schwarz den Funktionswert darstellt und die Pfeile symbolisieren den Gradienten.
Der Gradient eines Skalarfeldes <math>\varphi\left(\vec r\right)</math> definiert als der Vektor der partiellen Ableitungen . Er existiert daher nur an den an denen <math>\varphi</math> bezüglich aller Koordinaten partiell ist. Er wird als <math>\nabla\varphi</math> oder als geschrieben. Dabei ist <math>\nabla</math> der Nabla-Operator und grad das Funktionssymbol des Gradienten. den Fall eines Skalarfeldes <math>\varphi(x y z)</math> der Gradient in kartesischen Koordinaten definiert als
<math>\operatorname{grad}\ \varphi=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\vec{e}_x+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\vec{e}_y+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{e}_z = \begin{pmatrix} / \partial x \\ \partial\varphi / \partial \\ \partial\varphi / \partial z \end{pmatrix}</math>
Der Vektor der partiellen Ableitungen kann für vektorwertige Funktionen definiert werden. Ist <math>\vec{F}:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m</math> vektorwertige Funktion dann seien F 1 ... F m ihre Komponentenfunktionen das heißt
Für m=n ist das Ergebnis ein Tensor der 2. Stufe. Tensoren dieser Art beispielsweise bei der Beschreibung von mechanischer Spannung Elastizität eine Rolle.