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Gradient (Mathematik)


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Der Gradient ist in der mehrdimensionalen Analysis und der Vektoranalysis eine Funktion eines Skalarfeldes welche die Änderungsrate und die Richtung größten Änderung in Form eines Vektorfeldes angibt. Der Gradient ist damit eine der Ableitung für Funktionen von mehreren Variablen. Die beiden Absätze dienen der Veranschaulichung dieser komplexen Zusammenhänge.

Interpretiert man die Höhenkarte einer Landschaft eine Funktion z ( x y ) die jedem Ort die Höhe an Stelle zuordnet dann ist der Gradient von z an einer Stelle ( x y ) ein Vektor der in die Richtung steilsten Anstieges zeigt und dessen Länge ein für die Steilheit ist.

Die Wärmeverteilung einer vom Strom durchflossenen auf einem Mikrochip läßt sie sich durch ein Skalarfeld unterschiedlichen Temperaturen beschreiben. Der negative Gradient dieses Skalarfeldes eines Materialfaktors ist der Wärmefluss. Der Wärmefluss somit ein Vektorfeld welches proportional zum negativen Temperaturgradienten ist.

Gradient wird also ein Vektor genannt jedem Punkt eines Skalarfeldes zugeordnet werden kann. hat die Richtung der Normalen der jeweiligen auf der die Werte des Skalarfeldes konstant und ist in der Richtung wachsender Funktionswerte Skalarfeldes orientiert. Der Betrag des Gradienten stimmt der Richtungsableitung der Funktion des Skalarfeldes in überein.

In den beiden folgenden Bildern stellen Grauschattierungen das Skalarfeld dar wobei schwarz den Funktionswert darstellt und die Pfeile symbolisieren den Gradienten.

Inhaltsverzeichnis

Gradient eines Skalarfeldes


Der Gradient eines Skalarfeldes <math>\varphi\left(\vec r\right)</math> definiert als der Vektor der partiellen Ableitungen . Er existiert daher nur an den an denen <math>\varphi</math> bezüglich aller Koordinaten partiell ist. Er wird als <math>\nabla\varphi</math> oder als geschrieben. Dabei ist <math>\nabla</math> der Nabla-Operator und grad das Funktionssymbol des Gradienten. den Fall eines Skalarfeldes <math>\varphi(x y z)</math> der Gradient in kartesischen Koordinaten definiert als

<math>\operatorname{grad}\ \varphi=\nabla\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\vec{e}_x+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\vec{e}_y+\frac{\partial\varphi}{\partial z}\vec{e}_z = \begin{pmatrix} / \partial x \\ \partial\varphi / \partial \\ \partial\varphi / \partial z \end{pmatrix}</math>

Allgemein gilt

<math>\mathrm{grad}\varphi(x_1 \ldots x_n)=\nabla\varphi(x_1 \ldots x_n) = \begin{pmatrix}
\frac{\partial\varphi}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial\varphi}{\partial \end{pmatrix}</math>

Der Gradient kann je nach Verwendungszweck Zeilen- oder Spaltenvektor geschrieben werden.

Jacobi-Matrix eines Vektorfeldes

Der Vektor der partiellen Ableitungen kann für vektorwertige Funktionen definiert werden. Ist <math>\vec{F}:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m</math> vektorwertige Funktion dann seien F 1 ... F m ihre Komponentenfunktionen das heißt

<math>\vec F(x_1 ... x_n) = (F_1(x_1 ... ... F_m(x_1 ... x_n))</math>.

Man definiert dann die Ableitung von F</math> als (Spalten-)Vektor der (Zeilenvektor-)Gradienten der F i . Der Vektorgradient des Feldes ist die

<math>
\mathcal{J}_{\vec F}=\operatorname{grad}\vec{F}=\nabla\vec{F}= \begin{pmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial x_n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1}&\cdots&\frac{\partial F_m}{\partial x_n} </math>

Für m=n ist das Ergebnis ein Tensor der 2. Stufe. Tensoren dieser Art beispielsweise bei der Beschreibung von mechanischer Spannung Elastizität eine Rolle.

Hesse-Matrix

Mit dieser Verallgemeinerung definiert man die Ableitung eines Skalarfeldes φ(x 1 .. x n ) seine Hesse-Matrix:

<math>
\operatorname{H}(\varphi)= \left(\frac{\partial^2\varphi}{\partial x_i\partial x_j}\right)= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 x_1\partial x_1}&\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_1\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_1\partial \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_2\partial x_1}&\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_2\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2 x_2\partial x_n}\\ \vdots&&&\vdots\\ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_n\partial x_1}&\frac{\partial^2 x_n\partial x_2}&\cdots&\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x_n\partial x_n} \end{pmatrix} </math>

Rechenregeln

Rechenregeln ( c : Konstante; u und v : Skalarfelder):

  • <math>\operatorname{grad}\ c=\vec{0}</math>
  • <math>\operatorname{grad}\ (c\cdot u)=c\cdot\operatorname{grad}\ u</math>
  • <math>\operatorname{grad}\ (u+v)=\operatorname{grad}\ u+\operatorname{grad}\ v</math>
  • <math>\operatorname{grad}\ (u\cdot v) =u\cdot\operatorname{grad}\ v+v\cdot\operatorname{grad}\ u</math>

Anwendung

Vollständiges oder totales Differential eines Skalarfeldes

<math>d\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}dx+\frac{\partial\varphi}{\partial y}dy+\frac{\partial\varphi}{\partial z}dz=\operatorname{grad}\ \varphi\;d\vec{r}\qquad d\vec{r}=\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}</math>

Siehe auch: Divergenz (Mathematik) Rotation (Mathematik) .



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