Gruppenaktion

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Eine Gruppenaktion oder Gruppenoperation einer multiplikativ geschriebenen Gruppe G auf eine Menge X ist eine Abbildung

·: G × X → X

welche den folgenden Bedingungen genügt:

1· x = x für das Einselement 1∈ G und für alle x ∈ X ;
( gh )· x = g ·( h · x ) für alle g h ∈ G und x ∈ X .

Die Menge X heißt der Bahnenraum der Gruppe G .

Die Menge

Gx :={ gx | g ∈ G }

heißt Orbit oder Bahn von x unter G .

Die Menge

G _x:={ g ∈ G | gx = x }

heißt Isotropiegruppe von x ; sie ist eine Untergruppe von G wie man leicht nachprüft.

Man kann weiterhin zeigen dass zwei entweder disjunkt oder gleich sind; der Aktionsbereich X ist somit eine disjunkte Vereinigung von Wenn es genau eine Bahn gibt heißt X transitiv .

Wenn X eine additive Abelsche Gruppe ist und Distributivgesetze gelten die die Verträglichkeit von Addition Gruppenaktion sicherstellen dann heißt die Gruppenaktion von G auf X äußere Multiplikation oder Skalarmultiplikation (unbedingt zu unterscheiden vom Skalarprodukt das eine Multiplikation aus X × X in einen Skalarkörper ist). Wenn G ein Ring ist dann ist ( X + G ·) ein Modul ; wenn G ein Körper ist dann ist ( X + G ·) ein Vektorraum .

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