Die Gruppentheorie als mathematische Disziplin im 19. Jahrhundert entstanden ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik da sie eine Entkoppelung der Repräsentation B. die reellen Zahlen) von der inneren darstellt (Rechengesetze für Gruppen).

Beispielsweise folgt die Gruppe die durch Hintereinanderausführen von Drehungen eines regulären n- Ecks in der Ebene um Vielfache des 360°/2n entsteht denselben Gesetzen wie die Addition der ganzen Zahlen modulo n . Neutrales Element - entsprechend der Null der Addition - wäre hier die Nicht-Drehung einen Winkel von 0°.

Große Beiträge zur Gruppentheorie stammen unter von Evariste Galois Niels Henrik Abel Sophus Lie .

Eine Liste von Artikeln zum Thema ist die Liste gruppentheoretischer Artikel . Knappe Begriffsdefinitionen finden sich im Gruppentheorie-Glossar .

Inhaltsverzeichnis

1 Definition des Gruppenbegriffs

2 Grundkonzepte der Gruppentheorie

2.1 Kardinalität einer Gruppe
2.2 Ordnung von Elementen
2.3 Untergruppen
2.4 Nebenklassen
2.5 Normalteiler
2.6 Faktorgruppe
2.7 Zyklische Gruppen

3 Ausblick

4 Verwandte Themen

Definition des Gruppenbegriffs

Das Paar (M ×) heißt Gruppe wenn M eine Menge ist auf der eine zweistellige Verknüpfung a × b definiert ist so folgende Axiome erfüllt sind:

Wohldefiniertheit : Sind a und b Elemente von dann gibt es genau ein Ergebnis (a b) das auch ein Element von M
Assoziativität: a × (b × c) = × b) × c
neutrales Element : Es existiert ein Element e (auch 1 genannt) in M so für alle Elemente gilt a × e = e × a = a.
inverses Element : Zu jedem Element a in M ein Element nenne es a ^-1 so dass a × a ^-1 = a ^-1 × a = e .
Ist zusätzlich noch die folgende Bedingung erfüllt spricht man von einer abelschen oder kommutativen Kommutativität : a × b = b ×

Grundkonzepte der Gruppentheorie

Kardinalität einer Gruppe

Die Mächtigkeit |M| der Trägermenge der Gruppe nennt Kardinalität oder Ordnung der Gruppe. (Die Bezeichnung ist etwas verwirrend aber allgemein üblich)

Ordnung von Elementen

Ergibt ein Element der Gruppe nach vielen Multiplikationen mit sich selbst das neutrale 1 d. h. gilt: a ⁿ = 1 so nennt man das derartige n die Ordnung des Elementes.

Davon ausgehend kann man z. B. dass die Ordnung jeden Elementes einer endlichen Gruppe die Kardinalität der Gruppe teilt.

Untergruppen

Ist U eine Teilmenge der Trägermenge und gelten für {U ×} die Gruppenaxiome nennt man U eine Untergruppe von M.

Hierzu ein wichtiger Satz: Die Kardinalität Untergruppe U einer endlichen Gruppe teilt die der Gruppe M. Ist beispielsweise |M| eine enthält M nur zwei Untergruppen nämlich {1} M.

Nebenklassen

Zu einer Untergruppe U in M man die rechte Nebenklasse zum Element b schreibt U*b wie folgt definieren:

U*b entsteht aus den Elementen der U wenn man sie von rechts mit multipliziert.

analog kann man die linken Nebenklassen

Beispiel: Man nehme die ganzen Zahlen der Addition als M. Dann ist die aller ganzzahligen Vielfachen von drei eine Untergruppe. man die rechten Nebenklassen so erhält man Tabelle:

 U U+1 U+2 U+3=U U+4=U+1 ...

 ... ... ... -6 -5 -4 -2 -1 0 1 2 3 4 6 7 8 ... ... ...

Man sieht dass diese Tabelle wieder alle ganzen Zahlen enthält wobei keine Zahl vorkommt. Für endliche Gruppen gibt es einen der besagt: Die Anzahl der Nebenklassen multipliziert |U| ergibt |M|.

Die Spalten sind genau die Teilungsreste der Division durch 3 ! Jetzt mag versucht sein hier nur mit den Nebenklassen rechnen also modulo 3 und sich fragen es so ein Konzept zu jeder Untergruppe beliebige Gruppen gibt. Dies führt zur folgenden

Normalteiler

Ist für jedes Element b aus die linke Nebenklasse gleich der rechten d. U × b = b × U nennt man U einen Normalteiler von M.

Ein Sonderfall ist: In einer abelschen M ist jede Untergruppe Normalteiler.

Faktorgruppe

Damit können wir nun unser Konzept Rechnens auf den Nebenklassen umsetzen: Ist U Normalteiler dann kann man nur mit den rechnen und erhält eine Gruppe.

Dies geht wie folgt: man nimmt Element aus der einen Spalte und multipliziert mit einem beliebigen Element aus der anderen Die Spalte in der das Ergebnis liegt das Ergebnis meiner Multiplikation.

Die mit dieser Multiplikation und den (Nebenklassen) als Elementen definierte Gruppe nennt man Faktorgruppe von M bezüglich U.

Zyklische Gruppen

Gibt es in M ein Element so dass man jedes andere Element als a ^k schreiben kann so nennt man M zyklische Gruppe und a erzeugendes Element.

Ausblick

Es gibt auch Verallgemeinerungen der Gruppentheorie. Herangehensweise ist die Definition der Halbgruppen und Monoide :

Für Halbgruppen werden nur die Axiome und 2. verlangt. Existiert in einer Halbgruppe neutrales Element so spricht man von einem

Eine Einbettung des Gruppenkonzeptes in Algebren zwei Operationen bildet die Theorie der Körper .