Gruppoid

In der Mathematik bezeichnet man eine Menge zusammen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung als Gruppoid oder als Binar selten auch als Magma . Hat die innere Verknüpfung noch spezielle (siehe Gruppentheorie ) so erhält das Gruppoid eine entsprechende Bezeichnung: Halbgruppe Monoid oder ( abelsche ) Gruppe .

Freier Gruppoid

Für jede nichtleere Menge X kann man den freien Gruppoid über X definieren als die Menge aller endlichen Binärbäume deren Blätter mit Elementen von X beschriftet sind. Das Produkt AB zweier Bäume A und B ist der Baum dessen Wurzel den Unterbaum A und den rechten Unterbaum B hat. Aufschreiben kann man die Elemente freien Gruppoids durch vollständig geklammerte Ausdrücke.

Sei zum Beispiel X ={ a b c }. Dann enthält der freie Gruppoid über X unter anderem die (paarweise verschiedenen) Elemente

a b c ab ba ( ab ) c a ( bc ) ( aa )( bb ) ( a ( ab )) b ( ab )( ab ).

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