Hamelbasis

• Sie ist linear unabhängig d.h. falls eine endliche Linearkombination aus B den Nullvektor liefert sind alle Koeffizienten 0.
• Jeder Vektor von V lässt sich als endliche Linearkombination aus B darstellen.

Mathematiker sind hier meist schnell dabei sagen die Endlichkeit einer Linearkombination ist bereits ihrer Definition; aber dies vergisst man schnell der Arbeit in unendlichdimensionalen unitären Vektorräumen . Darauf gehen wir weiter unten noch

Der Begriff der Hamelbasis ist identisch dem Begriff der Basis eines Vektorraums aus der linearen Algebra .

Orthonormalbasis ist nicht notwendig Hamelbasis

In der Funktionalanalysis lernt man beim Studium von Fourierreihen dass die Funktionen

<math>B=\{ 1 \} \cup \{ \sin(nx) \cos(nx) n = 1 2 3 \ldots \}</math>

<math>\int_0^{2\pi} |f(x)|^2 \mathrm{d}x < \infty.</math>

<math>

 \int_0^{2\pi} \left|\left(a_0+\sum_{k=1}^n a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right)-f(x) \right|^2\ \mathrm{d}x =  

Jedoch sind die meisten Funktionen in V nicht als endliche Linearkombination aus B darstellbar. Damit ist B keine Hamelbasis. Als Vektorraum hat V zwar eine Hamelbasis diese ist jedoch größer als diese abzählbare Orthonormalbasis (sie ist überabzählbar). Hamelbasen in wie diesen (unendlichdimensionalen Hilberträumen ) sind von geringem Interesse; Orthonormalbasen sind wichtig für das Studium von Hilberträumen.

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