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Hauptideal


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In der abstrakten Algebra ist ein Hauptideal ein Ideal I eines Ringes R das von einem einzelnen Element a von R erzeugt wird.

Formal definiert man für einen Ring R :

  • Ein Haupt-Linksideal ist eine Teilmenge der Form
    <math>Ra:=\{ra|r\in R\}</math>
  • ein Haupt-Rechtsideal ist eine Teilmenge der Form
    <math>aR:=\{ar|r\in R\}</math>
  • ein (beidseitiges) Hauptideal ist eine Teilmenge der Form
    <math>RaR:=\{r_1 a s_1 + \ldots + r_n s_n\mid n \in \mathbb{N} r_i s_i\in R\}</math>
mit einem Ringelement a .

Ist R ein kommutativer Ring dann stimmen alle Begriffe überein. In diesem Fall schreibt man ( a ) oder <math>\langle a \rangle</math> für das a erzeugte Ideal.

Nicht alle Ideale sind Hauptideale. Betrachte Beispiel den kommutativen Ring C [X Y] aller Polynome in zwei Unbestimmten mit komplexen Koeffizienten. Das von X und Y Ideal (X Y) besteht aus allen Polynomen C [X Y] deren Absolutglied gleich 0 ist. Ideal ist kein Hauptideal denn wäre ein p ein Erzeuger von (X Y) dann X und Y Vielfache von p sein; dies ist unmöglich wenn p nicht konstant ist. Das einzige konstante in (X Y) ist aber das Nullpolynom wir haben einen Widerspruch .

Ein Integritätsring in dem jedes Ideal ein Hauptideal heißt Hauptidealring (engl. principal ideal domain PID).

Jeder Hauptidealring ist ein faktorieller Ring (engl. unique factorization domain UFD); der von den ganzen Zahlen Beweis der Primfaktorzerlegung (der Fundamentalsatz der Arithmetik ) funktioniert in jedem Hauptidealring.

Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring; der euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) liefert den Erzeuger eines vorgegebenen

Allgemeiner haben je zwei Hauptideale in beliebigen kommutativen Ring einen größten gemeinsamen Teiler Sinne der Idealmultiplikation. In Hauptidealringen erlaubt dies Bestimmung des ggT zweier Ringelemente eindeutig bis Multiplikation mit Einheiten . Wir können also den ggT von a und b definieren als einen Erzeuger des Ideals a b ).



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