Hausdorff-Raum

Ein Hausdorff-Raum (benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff ) oder separierter Raum ist ein topologischer Raum M in dem das folgende Trennungsaxiom T ₂ (auch Hausdorffeigenschaft genannt) gilt:

Für alle x y aus M mit x ≠ y existieren disjunkte offene Umgebungen U ( x ) und V ( y ).

Mit anderen Worten: jede zwei verschiedenen x und y aus M werden durch Umgebungen getrennt .

Einordnung in die Hierarchie topologischer Räume

Ein Hausdorff-Raum ist präregulär ( R ₁ ):

jede zwei topologisch unterscheidbaren Punkte x und y aus M werden durch Umgebungen getrennt

jede zwei verschiedenen Punkte x und y aus M sind topologisch unterscheidbar .

Topologisch unterscheidbar heißen zwei Punkte x und y genau dann wenn es eine offene Menge gibt die den einen Punkt enthält anderen aber nicht.

Beweis:

• Wenn R ₁ und T ₀ gegeben sind folgt unmittelbar T ₂ : diesen Schluss kann man rein formal ohne zu wissen was topologisch unterscheidbar überhaupt heißt.
• Der umgekehrte Schluss von T ₂ auf R ₁ und T ₀ geht so:
  • Aus der Definition von T ₂ folgt für verschiedene x y die Existenz der Menge U ( x ) die x aber nicht y enthält ergo gilt T ₀ .
  • Seien x y zwei topologisch unterscheidbare Punkte: dann gibt eine Menge die den einen Punkt enthält anderen aber nicht; somit ist x ≠ y . Dann folgt mit T ₂ dass x und y durch Umgebungen getrennt sind. Ergo gilt R ₁ .

Beispiele

So gut wie alle in der betrachteten Räume sind Hausdorff-Räume. Insbesondere jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.

Ein Beispiel für einen Hausdorff-Raum der metrischer Raum ist ist die Menge der Ordinalzahlen mit der gewöhnlichen Ordnungstopologie.

Wird das Spektrum eines Ringes mit Zariski-Topologie versehen erhält man einen topologischen Raum meist nicht präregulär geschweige denn hausdorffsch ist.

Literatur

Bücher zum Thema Hausdorff-Raum

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