Studium, Ausbildung und Beruf

web uni-protokolle.de
 powered by
NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenFreitag, 31. Oktober 2014 

Hausdorff-Raum



Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.
Hausdorff-Raum ( T 2 )
berührt die Spezialgebiete
ist Spezialfall von
umfasst als Spezialfälle

Ein Hausdorff-Raum (benannt nach dem Mathematiker Felix Hausdorff ) oder separierter Raum ist ein topologischer Raum M in dem das folgende Trennungsaxiom T 2 (auch Hausdorffeigenschaft genannt) gilt:

Für alle x y aus M mit x y existieren disjunkte offene Umgebungen U ( x ) und V ( y ).

Mit anderen Worten: jede zwei verschiedenen x und y aus M werden durch Umgebungen getrennt .

Einordnung in die Hierarchie topologischer Räume

Ein Hausdorff-Raum ist präregulär ( R 1 ):

jede zwei topologisch unterscheidbaren Punkte x und y aus M werden durch Umgebungen getrennt
und hat die Kolmogoroff-Eigenschaft ( T 0 ):
jede zwei verschiedenen Punkte x und y aus M sind topologisch unterscheidbar .

Topologisch unterscheidbar heißen zwei Punkte x und y genau dann wenn es eine offene Menge gibt die den einen Punkt enthält anderen aber nicht.

Beweis:

  • Wenn R 1 und T 0 gegeben sind folgt unmittelbar T 2 : diesen Schluss kann man rein formal ohne zu wissen was topologisch unterscheidbar überhaupt heißt.
  • Der umgekehrte Schluss von T 2 auf R 1 und T 0 geht so:
    • Aus der Definition von T 2 folgt für verschiedene x y die Existenz der Menge U ( x ) die x aber nicht y enthält ergo gilt T 0 .
    • Seien x y zwei topologisch unterscheidbare Punkte: dann gibt eine Menge die den einen Punkt enthält anderen aber nicht; somit ist x y . Dann folgt mit T 2 dass x und y durch Umgebungen getrennt sind. Ergo gilt R 1 .

Beispiele

So gut wie alle in der betrachteten Räume sind Hausdorff-Räume. Insbesondere jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.

Ein Beispiel für einen Hausdorff-Raum der metrischer Raum ist ist die Menge der Ordinalzahlen mit der gewöhnlichen Ordnungstopologie.

Wird das Spektrum eines Ringes mit Zariski-Topologie versehen erhält man einen topologischen Raum meist nicht präregulär geschweige denn hausdorffsch ist.

Literatur

B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie Springer 2001 ISBN 3540677909



Bücher zum Thema Hausdorff-Raum

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.

ImpressumLesezeichen setzenSeite versendenSeite drucken

HTML-Code zum Verweis auf diese Seite:
<a href="http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Hausdorff-Raum.html">Hausdorff-Raum </a>