Studium, Ausbildung und Beruf

web uni-protokolle.de
 powered by
NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenMittwoch, 30. Juli 2014 

Heisenbergsche Unschärferelation


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.
In der Quantenphysik besagt die Heisenbergsche Unschärferelation oder Unbestimmtheitsrelation dass der Ort x und der Impuls p eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau werden können. Sie wurde 1927 von Werner Heisenberg entdeckt. Danach gilt für die Ortsunschärfe x</math> und die Impulsunschärfe <math>\Delta p</math> stets

<math> \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}

wobei h = 6 6261 · 10 -34 Js das Plancksche Wirkungsquantum und π die Kreiszahl ist.

Inhaltsverzeichnis

Überblick

Die Unbestimmheitsrelation bezüglich Ort und Impuls eine unmittelbare Konsequenz der Wellennatur der Materie in der Quantenphysik und damit eines der fundamentalen Gesetze Physik. Sie wird oft irrtümlich damit erklärt eine Messung des Ortes eines Teilchens notwendigerweise Impuls stört. Heisenberg selbst hatte diese Erklärung gegeben. Die Unbestimmheitsrelation gilt jedoch sogar dann nach der Messung des Ortes die Messung Impulses an einer Kopie des Systems erfolgt (siehe Ensembleinterpretation unten). Ähnliche Unschärfebeziehungen gibt es auch Energie und Zeit und anderen Paaren von physikalischen Größen allgemeine Unschärferelation unten).

Folgende Analogie verdeutlicht die Unbestimmheit: Nehmen an dass Sie ein zeitveränderliches Signal z. eine Schallwelle haben und Sie die genaue Frequenz dieses Signals zu einem bestimmten Zeitpunkt messen wollen. Das ist unmöglich um die Frequenz exakt zu ermitteln müssen das Signal über eine gewisse Zeitspanne beobachten dadurch verlieren Sie Zeitpräzision. Das heißt ein kann nicht zu nur einer bestimmten Zeit sein wie etwa ein kurzer Impuls und eine exakte Frequenz besitzen wie etwa ein reiner Ton sie hat. Der Zeitpunkt und Frequenz der Welle sind analog zu betrachten Ort und Impuls eines Teilchens.

Die Unbestimmtheitsrelation wird oft verwechselt mit anderen quantenmechanischen Phänomen dem Zusammenbruch der Wellenfunktion dem die Wellenfunktion die ein Teilchen beschreibt sich genau verändert wenn dieses Teilchen beobachtet wird. Dieses und die Unbestimmtheitsrelation sind verschieden aber miteinander

Im Rahmen des mathematischen Formalismus ergeben die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Orts- und Impulsmessungen und die Unschärfen aus den zugehörigen Wellenfunktionen. Die folgt dann aus dem Umstand dass die bezüglich Ort und Impuls über eine Fouriertransformation miteinander verknüpft sind. Die Fouriertransformierte eines begrenzten Wellenpakets ist nun wiederum ein Wellenpaket das Produkt der Paketbreiten einer Beziehung gehorcht der obigen Unschärferelation entspricht.

Interpretationen

Die Heisenbergsche Unschärferelation gibt es in Interpretationen. Man unterscheidet die Ensembleinterpretation die eine Aussage über ein ganzes macht ein so genanntes Ensemble und die Kopenhagener Interpretation die ein einzelnes Teilchen beschreibt.

Die Ensembleinterpretation

Der große Unterschied zu den bisherigen Interpretationen ist dass die Ensembleinterpretation nicht wie Bohr oder Heisenberg Aussagen für ein Teilchen macht sondern Wahrscheinlichkeitsaussagen für eine große Anzahl von Experimenten ; allerdings mit — das ist die — identischen Teilchen.

Ein Ensemble ist die Gesamtheit aller identischen Teilchen ein Präparationsverfahren ergibt die in dem Experiment nicht miteinander wechselwirken dürfen analog zu Photonen im Doppelspaltexperiment .

Aussagen über ein Experiment sind in Weise möglich: Das Ensemble wird halbiert um einem Teil des Ensembles eine Eigenschaft zu etwa den Ort x und an dem Teil des Ensembles eine andere Eigenschaft zu etwa den Querimpuls p x . Mit den vielen Messwerten einer Eigenschaft man erhält kann man nun Statistik betreiben. Man kann den Mittelwert der Messwerte bestimmen und auch die Standardabweichung die als Größe für die mittlere zu verstehen ist und auf dem Mittelwert Die Standardabweichung der Orte wird dann dargestellt Δx. Dadurch kann die Heisenbergsche Unschärferelation folgendermaßen werden:

Formulierung der Heisenbergschen Unschärferelation in der

Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt in der dass es nicht möglich ist ein Ensemble einem Zustand so zu präparieren dass

<math>\Delta x\Delta p_x<\frac{\hbar}{2 \pi}</math>

für das ganze Ensemble erfüllt ist.

Vorteile der Ensembleinterpretation

Das Interessante an der Ensembleinterpretation ist mit dieser Interpretation die Heisenbergsche Unschärferelation klar ist. Außerdem wird diese Interpretation wissenschaftlich anerkannt gilt als Minimaltheorie der die meisten Wissenschaftler können. Zudem gelingt eine Verbindung von Theorie Experiment. Schließlich sind Δx und Δp x klar und relativ einfach über die definiert.

Die Kopenhagener Interpretation

Die Kopenhagener Interpretation war allerdings die abgeschlossene und in sich konsistente Interpretation des Gebäudes der Quantenmechanik. Sie führte zu stärkeren Diskussionen. Das Grundkonzept baut auf folgenden drei auf:

Unverzichtbarkeit klassischer Begriffe

Klassische Begriffe werden in ihrer üblichen auch in der Quantenwelt benutzt sie erhalten Vorschriften über ihre Anwendbarkeit. Das sind die von Ort und Impuls unterhalb derer die Ort und Impuls keinen Sinn mehr ergeben undefiniert sind. Die klassische Physik ist dadurch ausgezeichnet dass gleichzeitig die raumzeitliche Darstellung also die Möglichkeit der Ortsangabe zu Zeiten und die Erhaltung des Kausalitätsprinzips also Bestimmung des zeitlichen Verlaufs bei Angabe eines erfüllt sind.

Komplementarität

In Bereichen in denen die so genannte Wirkung in Größenordnung des Planckschen Wirkungsquantums <math>\hbar</math> liegt kommt es zu Quanteneffekten zwar aufgrund unkontrollierbarer Wechselwirkungen zwischen Objekt und Messgerät. Komplementarität bedeutet nun dass Raumzeitdarstellung und Kausalitätsforderung beide gleichzeitig erfüllt sein können. Ansonsten würde folgender Widerspruch ergeben:

Eine Eigenschaft eines Teilchens sei bestimmt. Dann nach der Quantenmechanik die Beeinflussung durch ein fehlen. Das heißt es muss eine Messung Damit geht der Sinn der Bestimmtheit verloren wie soll diese Eigenschaft bestimmt sein?

Ganzheitlichkeit der Quantenphänomene

Hinter der Ganzheitlichkeit der Quantenphänomene steckt die Vorstellung dass ein Quantenexperiment völlig neues Phänomen aufweisen könnte wenn das Experiment geändert z. B. indem eine weitere Messung an Experiment vorgenommen werden soll. Beim Doppelspaltexperiment findet z. B. gleichzeitig zur Impulsbestimmung eine Ortsbestimmung hinter einem Spalt statt.

Die feinen Unterschiede der weitgehend recht Ansichten von Bohr und Heisenberg die beide die wesentlichen Begründer der Interpretation waren werden deutlich indem man die der objektiven und subjektiven Eigenschaften eines Quantenobjektes ihren Vertretern Bohr Heisenberg zuordnet.

Bohr meint mit der objektiven Eigenschaft eines Quantenobjektes dass es in der Natur eines Teilchens liegt dass unterhalb gewisser Grenzen (nämlich Grenzen die durch die Unschärferelation gegeben sind) Teilchen z. B. Ort und Impuls nicht zugeordnet werden können weil dort diese Begriffe keinen Sinn mehr ergeben.

Heisenberg hingegen vertrat - zumindest in der ehe er auch (zumindest teilweise) zur Ensembleinterpretation - die subjektive Auffassung dass wir als Menschen — Messer — nicht in der Lage sind es durch die Störung durch ein Messgerät unsere Unfähigkeit oder durch eine unzulängliche Theorie Eigenschaften Ort und Zeit an einem Quantenobjekt beliebig genau zu messen wobei dabei aber werden könnte dass das Quantenobjekt in Wirklichkeit einen festen Wert besitzt.

Allgemeine Unschärferelation

Unschärfebeziehungen gibt es auch zwischen Energie und Zeit Drehimpuls und Winkel Phase und Teilchenzahl und zwischen vielen anderen von physikalischen Größen. Mit den Rechenmethoden der kann man für zwei Größen A und B allgemein formulieren:

<math>
\Delta A\ \Delta B \ge \frac{1}{2} \hat{B}\right]\right\rangle_\psi\right| </math>

Dabei gilt:

A and B sind zwei Messgrößen
<math>\hat{A}</math> und <math>\hat{B}</math> sind ihre zugehörigen Operatoren
<math>[\hat{A} \hat{B}]</math> bezeichnet den Kommutator von <math>\hat{A}</math> und <math>\hat{B}</math>
<math>\left\langle\ \right\rangle_\psi</math> beschreibt den Mittelwert des Zustandes |ψ⟩ und
Δ X ist die Standardabweichung von X : <math>\sqrt{\langle \hat{X}^2\rangle_\psi - \langle \hat{X}\rangle_\psi ^2}</math>

Grob formuliert: Das Produkt der A -Unschärfe und der B -Unschärfe ist mindestens halb so groß wie Betrag des Erwartungswertes des Kommutators von A und B . Im Allgemeinen ist also die Mindestgröße Unschärfeproduktes vom quantenmechanischen Zustand abhängig.

Beispiele

Die heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation zeigt sich in Natur unter anderem im Tunneleffekt und in den Vakuumfluktuation . Die Unbestimmtheit ist ein typisches Wellenphänomen das auch in der klassischen Physik Beispielsweise lassen sich nicht gleichzeitig die Frequenz und die Ankunftszeit einer Welle exakt (Die Frequenz hängt in der Quantenphysik mit der Energie zusammen). Um die exakt zu bestimmen müsste man mehrere Wellenberge Dann ist aber die Ankunftszeit nicht mehr

Videos



Bücher zum Thema Heisenbergsche Unschärferelation

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.

ImpressumLesezeichen setzenSeite versendenSeite drucken

HTML-Code zum Verweis auf diese Seite:
<a href="http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Heisenbergsche_Unsch%E4rferelation.html">Heisenbergsche Unschärferelation </a>