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Unter einer mathematischen Struktur wird hier eine Menge verstanden die mit bestimmten Eigenschaften ausgestattet Algebraische Strukturen sind mit einer oder mehreren Verknüpfungen ausgestattet. Topologische Räume erhalten ihre Struktur durch die Auszeichnung Teilmengen als offen . Viele wichtige Mengen zum Beispiel die Zahlkörper besitzen sowohl algebraische als auch topologische
Gruppe : Axiome EANI : Ein Monoid in dem es zu Element ein Inverses gibt. Gruppen wurden Anfang des 19. zur Beschreibung von Symmetrien eingeführt und haben sich als fundamental den gesamten Aufbau der Algebra erwiesen. Beispiele Zahlbereiche die eine Gruppe bilden: ( Z +) ( Q \{0} ·). Beispiele für Transformationsgruppen die Symmetrien die Punktgruppen zur Beschreibung von Molekülsymmetrien die symmetrischen Gruppen zur Beschreibung von Permutationen die Lie-Gruppen zur Beschreibung kontinuierlicher Symmetrien. Siehe auch Gruppentheorie Gruppentheorie-Glossar .
Abelsche Gruppe : Axiome EANIK : Eine Gruppe mit kommutativer Verknüpfung.
Die folgenden Strukturen haben zwei innere Verknüpfungen die gewöhnlich als Addition Multiplikation geschrieben werden; diese Strukturen sind von Zahlbereichen (wie Z Q R ) abstrahiert mit denen man gewöhnlich rechnet. Verträglichkeit der additiven und der multiplikativen Verknüpfung durch folgende Axiome sichergestellt:
(I * ) Existenz des inversen Elements bezüglich der Verknüpfung mit Ausnahme des neutralen Elements der Verknüpfung. Formal: Zu jedem a aus M \{0} gibt es ein a -1 aus M mit dem gilt: a · a -1 = a -1 · a = e .
(Dl) Links- Distributivgesetz : Für a b c aus M gilt: a ·( b + c )= a · b + a · c .
(Dr) Rechts- Distributivgesetz : Für a b c aus M gilt: ( a + b )· c = a · c + b · c .
(T) Nullteilerfreiheit : Wenn 0 das neutrale Element der Verknüpfung bezeichnet dann folgt für alle a b aus M aus a · b =0 dass a =0 oder b =0.
(U) Die neutralen Elemente bezüglich der Addition der Multiplikation 0 und 1 sind nicht
Die jeweils gültigen Axiome sind im in der Reihenfolge (additive Axiome | multiplikative | Verträglichkeitsaxiome) gekennzeichnet.
Ring : Axiome ( EANIK | EA | D ): Eine additive abelsche Gruppe eine multiplikative
Kommutativer Ring: Axiome ( EANIK | EAK | D ): Ring mit kommutativer Multiplikation.
Ring mit 1 oder unitärer Ring: Axiome EANIK | EAN | D ): Ring mit neutralem Element der Multiplikation.
Nullteilerfreier Ring : Axiome ( EANIK | EA | DT ): Ring in dem aus a·b =0 folgt dass a =0 oder b =0.
Integritätsbereich : Axiome ( EANIK | EANK | DTU ): Kommutativer unitärer nullteilerfreier Ring mit 1≠0.
Schiefkörper : Axiome ( EANIK | EANI * | DTU ): Unitärer nullteilerfreier Ring mit 1≠0 und multiplikativem Inversen außer für das Element 0.
Körper : Axiome ( EANIK | EANI * K | DTU ): Kommutativer Schiefkörper Integritätsbereich mit multiplikativem Inversen für das Element 0. - Jeder Körper auch ein Vektorraum (mit sich selbst als zugrunde liegendem Wenn man in dem Körper eine Norm ein Skalarprodukt definiert erhält ein Körper dadurch topologischen Eigenschaften eines normierten Raums oder eines Siehe dazu unten. - Beispiele: die Zahlbereiche Q R und C .
Wichtige Teilmengen die aber nicht abgeschlossen der Gruppenverknüpfungen sind:
In einem distributiven Verband muss man eines der beiden Absorptionsgesetze fordern; das andere dann aus dem Distributivgesetz.
Eine Boolsche Algebra ist ein Verband in dem die Verknüpfungen je ein neutrales Element haben a ∨0=0 und a ∧1=1 und in dem jedes Element ein beider Verknüpfungen übereinstimmendes Komplement hat
(Kompl) Existenz eines Komplements: zu jedem a gibt es ein ¬ a für das gilt a ∨¬ a =1 und a ∧¬ a =0.
Beachte das das Komplement nicht inverses Element ist da es das Element der jeweils anderen Verknüpfung liefert.
Mengenalgebra : eine Boolsche Algebra deren Elemente Mengen nämlich Teilmengen einer Grundmenge X mit den Verknüpfungen ∪ und ∩ dem Nullelement ø und dem Einselement X .
σ-Algebra : eine bezüglich abzählbar-unendlich vielen Verknüpfungen abgeschlossene
Diese Strukturen bestehen aus einem additiv Magma (zumeist einer abelschen Gruppe) V und einem Zahlbereich (einer Struktur mit inneren Verknüpfungen zumeist einem Körper) K dessen Gruppenaktion auf V als Linksmultiplikation *: K × V → V oder als Rechtsmultiplikation *: V × K → V geschrieben und (von V aus gesehen) als äußere Verknüpfung aufgefasst wird. Die Elemente von K heißen Skalare die äußere Verknüpfung dementsprechend auch Skalarmultiplikation . Sie genügt den folgenden Verträglichkeitsaxiomen (in für Linksmultiplikation):
(AL) Assoziativgesetz: für a b aus K und v aus V : ( a . b ) * v = a * ( b * v ).
(DL) Distributivgesetze: für a b aus K und v w aus V : a * ( v + w ) = a * v + a * w und ( a + b ) * v = a * v + b * v .
Damit erhalten wir folgende Strukturen in Notation ( V | K | Verträglichkeitsaxiome):
Lie-Algebra : Vektorraum mit der Lie-Klammer als zusätzlicher bilinearen Verknüpfung []: V × V → V .
assoziative Algebra : Vektorraum mit einer assoziativen bilinearen Verknüpfung V × V → V .
Die im folgenden eingeführten inneren Verknüpfungen Skalarprodukt und Norm verhelfen einem Vektorraum (das kann insbesondere ein als Vektorraum aufzufassender Körper sein) zu topologischen Struktur.
Ein Bilinearraum ist fast ein Innenproduktraum (siehe unten) - außer das innere Produkt nicht positiv definit sein Wichtiges Beispiel: der Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie.
unitärer Raum : ein Innenproduktraum über C dessen Skalarprodukt eine Hermitesche Form ist unter Vertauschung der Argumente die Symmetrie <math>\langle y \rangle = \overline{\langle y x \rangle}</math>
normierter Raum : Vektorraum mit einer Norm ||·||: V → K . Die Norm kann muss aber nicht ein Skalarprodukt gegeben sein. Jeder normierte Raum ist ein metrischer Raum und besitzt deshalb auch eine topologische
Teilordnung (partielle Ordnung Halbordnung. Achtung: manchmal einfach Ordnung genannt): reflexiv antisymmetrisch und transitiv. Beispiele: Die Teilmengenrelation in einer Potenzmenge ; die Relation "komponentenweise kleinergleich" auf dem Vektorraum R n .
totale Ordnung (lineare Ordnung): totale Halbordnung. Beispiel: "Kleinergleich" auf Z .
strenge Totalordnung: total irreflexiv und transitiv. Beispiel: auf Z .
fundierte Ordnung : eine Halbordnung bei der jede nichtleere ein minimales Element besitzt. Beispiel: Die Relation oder Element von" in einer Menge von
Wohlordnung : totale Ordnung bei der jede nichtleere ein minimales Element besitzt. Beispiel: "Kleinergleich" auf N .
Metrische Räume werden durch ihre Metrik mit einer geometrischen Struktur ausgestattet die in Eigenschaften wie Kongruenz von Figuren zum Ausdruck kommt.
Die verschiedenen topologischen Räume sind aus dem Bemühen hervorgegangen von globalen Struktur abzusehen und lediglich die möglichen Struktur eines Raums zu klassifizieren.
Dies sind die Mengen mit denen gewöhnlich rechnet. Grundlage ist die Menge der Zahlen. Als algebraische Verknüpfung dienen Addition und Indem man fordert dass auch die Umkehroperationen und Division stets möglich sein sollen erweitert die Menge der natürlichen Zahlen zur Menge ganzen Zahlen und zur Menge aller Brüche. reellen Zahlen werden als Grenzwerte von Zahlenfolgen sie ermöglichen das Wurzelziehen aus beliebigen positiven Die Wurzeln aus negativen Zahlen führen auf komplexen Zahlen.
Die Menge der natürlichen Zahlen N dient dem Abzählen und steht ganz Anfang des axiomatischen Aufbaus der Mathematik. Wir im folgenden die 0 als in N enthalten; die entgegengesetzte Konvention ist aber üblich. ( N +) und ( N ·) sind Monoide mit den neutralen Elementen 0 bzw. Addition und Multiplikation sind wie auch bei anderen Zahlbereichen distributiv .
Die Menge der nichtnegativen Brüche Q + entsteht aus N indem man Bruchzahlen als Inverse bezüglich der Multiplikation konstruiert. ( Q + \{0} ·) ist daher eine Gruppe ; ( Q + +) ist eine Monoid .
Die Menge der Brüche oder rationalen Zahlen Q entsteht aus Q + durch Hinzunahme der Inversen bezüglich der oder aus Z durch Hinzunahme der Inversen bezüglich der ( Q +) und ( Q \{0} ·) sind abelsche Gruppen . Addition und Multiplikation sind distributiv ; Q ist ein Körper .
Die Menge der komplexen Zahlen C besteht aus Paaren reeller Zahlen ( a b ) die in der Schreibweise a + bi mit i 2 =-1 den üblichen Rechengesetzen genügen. In C ist jede algebraische Gleichung auflösbar. C ist ein Körper .
Quaternionen Cayley-Zahlen und darüber hinaus erweiterte Zahlbereiche sind mehr kommutativ bezüglich der Multiplikation.
Wichtig sind ferner einige eingeschränkte Zahlbereiche:
Der Restklassenring Z m kann als Einschränkung der natürlichen Zahlen die Menge {0 1 ... m -1} aufgefasst werden. Alle Rechenoperationen werden modulo m ausgeführt. Z m ist ein Ring ; wenn m eine Primzahl ist sogar ein Körper . In maschinennahen Programmiersprachen werden vorzeichenlose ganze als Restklassenringe z.B. mit m =2 16 oder 2 32 dargestellt.
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