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Hilbert-Raum


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Hilbert-Raum
berührt die Spezialgebiete
Mathematik
Analysis
Funktionalanalysis
partielle Differentialgleichungen
Physik
Quantenmechanik
ist Spezialfall von
Vektorraum
normierter Raum
Innenproduktraum
metrischer Raum
vollständiger Raum
Banach-Raum
umfasst als Spezialfälle

Ein Hilbert-Raum (oder Hilbertraum benannt nach dem Mathematiker David Hilbert ) ist ein vollständiger Innenproduktraum.

Ein Innenproduktraum ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen R oder den komplexen Zahlen C mit einem Skalarprodukt . Das Skalarprodukt induziert eine Norm und eine Metrik . Der Innenproduktraum heißt vollständig bezüglich der so induzierten Metrik wenn Cauchy-Folge konvergiert .

Der Hilbert-Raum ist eine Verallgemeinerung des Euklidischen Raums bzw. des Unitären Raums . Wichtig ist der Begriff vor allem unendlichdimensionalen Funktionenräumen. Die meisten dieser Räume sind vollständig weswegen Hilbert-Räume besonders sind. Der hohe an mathematischer Struktur in ihnen vereinfacht die allerdings ungemein und so spielen sie in Funktionalanalysis speziell in der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen und damit auch der Physik eine große Rolle. Als Beispiel sei die Quantenphysik genannt wo die Zustände eines quantentheoretischen einen Hilbert-Raum bilden.

Inhaltsverzeichnis

Dualraum

Jeder Hilbertraum ist automatisch ein Banach-Raum und hat so alle dessen Eigenschaften. hat jeder Hilbertraum einen Dualraum. Hier gilt der Rieszsche Darstellungssatz: Jeder Hilbertraum ist isometrisch isomorph zu seinem Dualraum. Dieser Satz hat Konsequenzen.

Beispiele für Hilbert-Räume

  • <math>\mathbb{R}^{n}</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt.
  • <math>\mathbb{C}^{n}</math> mit <math>\langle c_1 c_2\rangle =
  • Der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen (L2) dem L2-Skalarprodukt: <math><f g>=\int (f \cdot g)</math>. Beispiel eines solchen Raumes ist der oben Raum der Wellenfunktionen in der Quantenmechanik.
  • Der Raum l2 aller Folgen mit der Eigenschaft daß Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. ist der ursprüngliche Hilbertraum anhand dessen David die Eigenschaften solcher Räume untersuchte.

Noch nicht Ausformuliertes ...

Wichtige Konzepte für den Umgang mit sind u.a. Orthogonalität Hilbertraumbasis Fourierkoeffizient Besselsche Ungleichung Parsevalsche Gleichung Parallelogrammgleichung

Trivia

An der Georg-August-Universität in Göttingen wo David Hilbert lange lehrte und forschte gibt es einen Hilbertraum. amüsante Zweideutigkeit des Namens wird ausländischen Gästen nicht klar: im Englischen heißt ein mathematischer space und nicht etwa room .

Links

Weitere mathematische Räume siehe unter Raum (Mathematik)



Bücher zum Thema Hilbert-Raum

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