Hilberts Hotel

Der Mathematiker David Hilbert präsentierte das folgende Paradoxon über die Unendlichkeit .

Das Paradox des unendlichen Hotels

In einem Hotel mit endlich vielen Zimmern können keine Gäste mehr werden sobald alle Zimmer belegt sind. Stellen uns nun ein Hotel mit unendlich vielen vor. Man könnte annehmen dass dasselbe Problem hier auftritt.

Es gibt jedoch einen Weg Platz einen weiteren Gast zu machen obwohl alle belegt sind. Der Gast von Zimmer 1 in Zimmer 2 der Gast von Zimmer geht in Zimmer 3 der von Zimmer nach Zimmer 4 usw. Damit wird Zimmer frei für den neuen Gast. Wiederholt man erhält man Platz für beliebig endlich viele neue Gäste. Es ist sogar möglich für ( abzählbar ) unendlich viele Gäste zu machen: Der Gast von 1 geht wie eben in Zimmer 2 Gast von Zimmer 2 aber in Zimmer der von Zimmer 3 in Zimmer 6 Damit werden alle Zimmer mit ungerader Nummer für die unendlich vielen Neuankömmlinge.

Was ist wenn nun (abzählbar) unendlich viele Busse mit je unendlich Gästen vorfahren? Können auch diese Gäste alle bereits vollen Hotel untergebracht werden? Das geht Beispiel indem man die Zimmer mit ungeraden wie eben beschrieben frei macht und dann Gäste aus Bus 1 in die Zimmer ⁿ schickt mit n = 1 2 3 ... die aus Bus 2 in die Zimmer 5 ⁿ usw. die Gäste aus Bus i in die Zimmer p ⁿ wobei p die i +1-te Primzahl ist. Dadurch sind alle angekommenen Gäste Hotel untergebracht und sogar noch unendlich viele frei. Cantors Diagonalverfahren liefert eine andere Möglichkeit Gäste unterzubringen.

All diese Möglichkeiten sind nicht wirklich sondern widersprechen nur der Intuition. Es ist sich eine Vorstellung von unendlichen "Zusammenfassungen von zu machen da ihre Eigenschaften sich sehr von denen gewöhnlicher endlicher "Zusammenfassungen von Dingen". einen gewöhnlichen Hotel ist die Anzahl der mit ungerader Nummer offenbar kleiner als die aller Zimmer. In Hilberts Hotel das treffenderweise Grand Hotel " genannt wird ist die "Anzahl" der mit ungerader Nummer "genausogroß" wie die "Anzahl" Zimmer. Mathematisch ausgedrückt wird das so: Die Mächtigkeit der Teilmenge der Zimmer mit ungerader ist gleich der Mächtigkeit der Menge aller Zimmer. Man kann unendliche Mengen die Eigenschaft definieren eine gleichmächtige echte Teilmenge haben. Die Mächtigkeit abzählbarer Mengen wird <math>\aleph_0</math> aleph 0") genannt.

Eine noch seltsamere Geschichte um dieses zeigt dass vollständige Induktion nur in einer Richtung funktioniert. Es keine Zigarren in das Hotel mitgebracht werden. hat jeder Gast des voll belegten Hotels Zigarre. Woher kamen die dann? Der Gast Zimmer 1 bekam seine vom Gast in 2. Der hat zwei Zigarren vom Gast Zimmer 3 bekommen der wiederum bekam drei Gast aus Zimmer 4 usw. Der "Induktionsschritt" also dieser: Der Gast in Zimmer n behält eine Zigarre und gibt die n -1 Zigarren an den Gast mit der Zimmernummer n -1 weiter. Bei dieser Argumentation fehlt jedoch Induktionsanfang.

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