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Holomorphie


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.

siehe auch : Komplexe Zahlen || Komplexe Teilmengen


In der reellen Analysis kann man Funktion für einzelne Punkte ihres Definitionsbereiches auf beiden folgenden Eigenschaften überprüfen:
  • Die Funktion ist an diesem Punkt differenzierbar .
  • Die Funktion lässt sich um diesen durch eine Potenzreihe mit positiven Konvergenzradius darstellen.
Im Gegensatz zur reellen Analysis gelten bei komplexwertigen beide Eigenschaften immer gleichzeitig. D.h. eine Funktion genau dann in z 0 nach der komplexen Variablen z differenzierbar sie in z 0 lokal in eine komplexe Potenzreihe entwickelbar

Wenn eine komplexwertige Funktion in einem diese beiden Eigenschaften besitzt wird sie als holomorph in diesem Punkt bezeichnet. Als Synonyme den Begriff holomorph werden gelegentlich die Begriffe analytisch und regulär gebraucht.

Als dritte und gleichwertige Eigenschaft für Holomorphiebegriff kann man die lokale Gültigkeit der Cauchyschen Integralformel heranziehen.

Viele wichtige Eigenschaften holomorpher Funktionen lassen direkt aus den obigen Bedingungen herleiten (beliebig differenzierbar Darstellung der Taylorkoeffizienten ...).

Inhaltsverzeichnis

Holomorphie

Es sei U eine offene Teilmenge der komplexen Zahlen C und h eine Funktion die U C abbildet d.h. zu jedem Punkt z U existiert ein komplexer Funktionswert h (z).
Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig :

0: Die Funktion h ist in allen von U holomorph h ist in U holomorph .

1: Die Funktion h ist in allen von U komplex-differenzierbar.

2: Zu jedem Punkt z 0 in U lässt sich zu jeder Kreisscheibe K um z 0 die vollständig in U liegt jeder von h zu einem inneren Punkt von durch eine Potenzreihe um z 0 darstellen.

3: Zu jedem Punkt z 0 in U lässt sich zu jeder Kreisscheibe K um z 0 mit Rand R die vollständig in liegt jeder Funktionswert von h zu einem Punkt z von K durch ein Integral des Randes R darstellen:
<math>h (z) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_R \frac{h(\zeta)}{\zeta - z} \ \mathrm{d}\zeta</math>

Anmerkungen

n-fach differenzierbar ?

In der reellen Analysis unterscheidet man oft eine Funktion in einem Punkt differenzierbar

Beispielsweise ist f (x) = x · x · für alle reelle Zahlen außer 0 beliebig oft differenzierbar. Im Nullpunkt diese Funktion jedoch nur zweifach differenzierbar d.h. existiert zwar die zweite Ableitung von f kann jedoch nicht erneut differenziert werden.

Bei komplexwertigen Funktionen in C gilt dagegen: Die Ableitung einer holomorphen ist selbst ebenfalls wieder holomorph und kann immer erneut differenziert werden.

Bei einer komplexwertigen Funktionen f in C gilt für einen Punkt z des

  • entweder: f ist in z nicht und damit überhaupt nicht komplex-differenzierbar.
  • oder: f ist in z holomorph damit beliebig oft komplex-differenzierbar.

Algebraische Eigenschaften

Zu einer nichtleeren offenen Menge U H (U) die Menge aller in U Funktionen.

Zu zwei beliebigen Funktionen f und aus H (U) seien Addition und Multiplikation folgt punktweise definiert:

  • ( f + g ) (z) f (z) + g (z)
  • ( f · g ) (z) f (z) · g (z)

Dann bildet H (U) zusammen mit Addition und Multiplikation einen kommutativen Ring . Null- und Eins-Element des Ringes sind konstanten Funktionen die jeden Punkt aus U 0 bzw. 1 abbilden.

Fordert man weiterhin dass U zusammenhängend ein Gebiet ist erhält man unter sonst gleichen einen Integritätsring .

Ersetzt man weiterhin H (U) durch Menge aller nullstellenfreier holomorpher Funktionenen in diesem Gebiet erhält unter sonst gleichen Bedingungen einen Körper .

Ganze Funktionen

Funktionen die in der ganzen komplexen holomorph sind werden als ganze Funktionen bezeichnet.



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