Homomorphismus

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeine mathematische Definition 2 Voraussetzung 3 Gruppenhomorphismus 4 Ringhomomorphismus 5 Weitere Begriffe

Allgemeine mathematische Definition

Voraussetzung

Im folgenden bezeichne (A f g ... a b c ...) eine Struktur dass A die Trägermenge ist f g Verknüpfungen (z.B. "*" oder "+") und a c die jeweils neutralen Elemente dieser Verknüpfungen.

z.B. ist (Z + 0) (die der ganzen Zahlen mit der Verknüpfung + und dem Element 0) eine Gruppe (R * + 0) (die Menge der reellen Zahlen mit * und + wie in Schulmathematik) ein Körper. Dann gilt folgendes:

Gruppenhomorphismus

Eine Abbildung f: A -> B Gruppenhomorphismus zwischen (A * 1) und (B 1) wenn für alle a b ∈ gilt:
f(a * b) = f(a) *

Damit folgt trivialerweise auch direkt:

• f(1) = 1 denn es gilt: = f(1*1) = f(1)*f(1) also f(1) = sowie
  
• <math> \forall a \in A : = f(a)^{-1}</math> denn es gilt <math>f(a)f(a^{-1}) = \cdot a^{-1}) = f(1) = 1 = = f(a^{-1}) f(a)</math> und damit aus der des inversen Elementes die Behauptung.

Kern(f) := {a ∈ A : = 1}
(Der Kern eines Gruppenhom. ist ein Normalteiler von A).

Ringhomomorphismus

Analog zu oben gelten dann auch direkten Folgerungen f(1) = 1 und <math>f(a^{-1}) f(a)^{-1}</math>.

Kern(f) := {a ∈ A : = 0}
(Der Kern eines Ringhom. ist ein Ideal von A.)

Hinweis: f ist injektiv genau dann wenn der Kern trivial (d.h. nur das neutrale Element aus A

Beweis :

Sei f injektiv und f(h) = Da f Hom ist ist f(0) = = f(h) und damit h = 0 f injektiv. Also ist Kern(f) = {0}. sei Kern(f) = {0}. Betrachte h und mit f(h) = f(h'). Dann ist 0 f(h) - f(h') = f(h - h') h - h' ∈ Kern(f) = {0}. ist h - h' = 0 also = h' und damit f injektiv.

Da ein Körper K nur K {0} als einzige Ideale hat ist damit Körperhomorphimus insbesondere immer injektiv!

Weitere Begriffe

• Epimorphismus wenn f surjektiv ist

• Monomorphismus wenn f injektiv ist

• Isomorphismus wenn f surjektiv und injektiv also bijektiv ist

• Endomorphismus auf A wenn f A in selbst abbildet.

• Automorphismus auf A wenn f: A -> Isomorphismus ist.

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