Nach dem Hauptschulabschluss begann Tappert eine Ausbildung und wurde nach deren Abschluss zum eingezogen. Nach dem Krieg nahm er Schauspielunterricht Theater in Stendal . Seine Engagements führten ihn von Göttingen Kassel und Bonn bis zu den Münchner Kammerspielen. Seit 1967 arbeitete Tappert als freier Schauspieler.
1966 begann seine TV-Karriere; den Durchbruch schaffte mit dem Dreiteiler "Die Gentlemen bitten zur in dem er die Rolle des Gangsters 1968 wechselte er vom Ganoven zum Gesetzeshüter spielte in diversen Edgar Wallace -Filmen die Rolle des Scotland Yard-Inspektors Perkins. wurde 1974 das ZDF auf ihn aufmerksam das eine Fernsehserie namens " Derrick " plante in der Tappert dann Komissar spielte. Nach über 20 Jahren auf Sendung insgesamt 286 Folgen wurde die Serie 1997 eingestellt.