Ideal (Ringtheorie)

Die Bezeichnung "Ideal" ist abgeleitet aus Begriff "ideale Zahl": Ideale wurden als Verallgemeinerung Zahlen angesehen. Mehr dazu im Abschnitt "Ideale

Inhaltsverzeichnis

1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Arten von Idealen 5 Faktorringe und Kerne 6 Verknüpfung von Idealen 7 "Ideale Zahlen"

Definition

Um auch für nicht- Kommutative Ringe geeignete Begriffe zu haben unterscheiden zwischen Linksidealen Rechtsidealen und beidseitigen Idealen .

Eine Teilmenge I eines Ringes R heißt Linksideal wenn

1: Die Null des Ringes liegt in I

2: Für alle a b in I liegt a - b in I

3L: Für jedes a in I und r in R liegt ra in I

Eine Teilmenge I eines Ringes R heißt Rechtsideal wenn neben 1 und 2 auch gilt

3R: Für jedes a in I und r in R liegt ar in I

Eine Teilmenge I eines Ringes R heißt beidseitiges Ideal wenn sie Linksideal und Rechtsideal ist 1 2 3L und 3R erfüllt. Der Ausdruck Ideal bezeichnet meist ein beidseitiges Ideal.

Ist der Ring kommutativ dann fallen drei Begriffe zusammen. In einem nichtkommutativen Ring sie sich aber unterscheiden.

Beispiele

• Die Menge 2 Z der geraden ganzen Zahlen ist ein Ideal im Ring Z aller ganzen Zahlen
• Die Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten die durch X2+1 teilbar sind ein Ideal im Polynomring R [X]
• Der Ring c( R ) aller stetigen Funktionen von R nach R enthält das Ideal der Funktionen f mit f (1) = 0. Ein anderes Ideal in R ) sind die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger d.h. alle Funktionen die für hinreichend Argumente gleich 0 sind
• Die Mengen {0} und R sind stets Ideale eines Rings R . Ist der Ring R kommutativ dann ist er genau dann Körper wenn {0} und R seine einzigen Ideale sind.

• Die Menge 2 Z +1 der ungeraden ganzen Zahlen ist kein Ideal in Z da es die 0 nicht enthält

Eigenschaften

Da ein Ideal I die 0 enthält ist es nichtleer. kann man Bedingung 1 in die Forderung umwandeln dass I nicht leer ist.

Jedes einseitige Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe ( R +). Die Umkehrung gilt nicht z.B. Z eine additive Untergruppe von R aber kein Ideal.

Jedes beidseitige Ideal ist ein Unterring R . Auch hier gilt die Umkehrung nicht.

Der Ring R kann als Linksmodul über R aufgefasst werden und die Linksideale in R sind dann genau die Untermoduln des R . Analog sind die Rechtsideale genau die des R -Rechtsmoduls R und die beidseitigen Ideale genau die des R -Bimoduls R . Ist der Ring R kommutativ dann fallen diese drei Modul-Typen genau wie die drei Ideal-Typen.

Arten von Idealen

Die ersten beiden genannten Beispiele sind Hauptideale . Das von einem Element a erzeugte Haupt(-links-)ideal ist Ra := { ra : r in R }. Das rechtsseitige Hauptideal aR ist analog definiert. Ist der Ring stimmen Ra und aR überein (und bilden ein beidseitiges Ideal); dem Fall schreibt man das Hauptideal oft < a > oder ( a ).

Ein Ideal I heißt echtes Ideal wenn es nicht ganz R ist; dies ist genau dann der wenn das Einselement 1 nicht in I liegt.

Ein Ideal I heißt maximales Ideal wenn es das einzige echte Ideal in dem es enthalten ist d.h. wenn

<math>I \subset J \subsetneq R \Rightarrow I J</math>

Mit Hilfe des Lemma von Zorn kann gezeigt werden dass jedes echte eines Rings mit 1 in einem maximalen enthalten ist. Insbesondere besitzt jeder Ring mit ein maximales Ideal.

Ein echtes Ideal heißt Primideal wenn es folgende Eigenschaft hat: Für a und b aus R mit ab in I gilt dass a in I oder b in I liegt (oder beide). Jedes maximale Ideal prim.

Faktorringe und Kerne

Ideale sind wichtig weil sie als von Ringhomomorphismen auftreten und die Definition von ermöglichen.

Ein Ringhomomorphismus f vom Ring R in den Ring S ist eine Funktion mit

f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) f (1) = 1.

ker( f ) := { a in R : f ( a ) = 0}.

Startet man umgekehrt mit einem beidseitigen I von R dann kann man den Faktorring R / I (sprich: " R modulo I ") definieren dessen Elemente die Form

a + I := { a + i : i in I }

p : R -> R / I p ( a ) = a + I

Ist der Ring R kommutativ und I ein Primideal dann ist R / I ein Integritätsring ist I ein maximales Ideal dann ist R / I sogar ein Körper .

Die extremsten Beispiele von Faktorringen eines R entstehen durch Herausteilen der Ideale {0} R . Der Faktorring R /{0} ist isomorph zu R und R / R ist der triviale Ring {0}.

Verknüpfung von Idealen

Die Summe zweier Ideale I und J ist definiert als die Menge aller mit Summanden aus I und J :

I + J := { i + j : i in I j in J }

Ist A eine Teilmenge des Rings R dann bezeichnet man mit < A > oder ( A ) das kleinste Ideal in R das A enthält und nennt es das von A erzeugte Ideal . Es besteht als allen endlichen Summen Form

r ₁ a ₁ s ₁ + ··· + r _n a _n s _n

Das Produkt zweier Ideale I und J ist definiert als das von der aller Produkte aus I und J erzeugte Ideal:

IJ := <{ ij : i in I j in J }>

Mit den Verknüpfungen Summe und Durchschnitt die Menge aller Ideale eines Ringes einen Verband .

Einige wichtige Eigenschaften dieser Verknüpfungen werden den Noetherschen Isomorphiesätzen zusammengefasst.

"Ideale Zahlen"

Die Bezeichnung "Ideal" ist eine Ableitung "ideale Zahl". Ideale wurden als Verallgemeinerung von Zahlen angesehen. In den ganzen Zahlen Z kann jedes Ideal mit einer (bis das Vorzeichen eindeutig bestimmten) Zahl identifiziert werden. und Ideale sind in Z also fast identisch (wie in jedem Hauptidealring ) und bei Untersuchungen der Teilbarkeit entfällt auch dieser Unterschied. In anderen verallgemeinern Ideale bestimmte Eigenschaften von Zahlen. Zum untersucht man Primideale anstelle von Primelementen definiert teilerfremde Ideale und beweist eine Version des chinesischen Restsatzes für Ideale. In bestimmten Ringen die der Zahlentheorie wichtig sind den so genannten Dedekindringen man sogar eine Version des Fundamentalsatzes der Arithmetik : In diesen Ringen kann jedes vom verschiedene Ideal eindeutig als Produkt von Primidealen werden.

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