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Identitätssatz


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Der Identitätssatz ( lat. lex identitatis ) bezeichnet neben dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten dem Satz vom Widerspruch und dem Satz vom zureichenden Grund der vier Grundgesetze der formalen Logik .

Einleitung: die Identitätsbedingung für den identischen im Schluss

Nach dem Identitätssatz muß jeder in mittelbaren Schluß ausgeführte Gedanke bei seiner Wiederholung und denselben bestimmten stabilen Inhalt haben. Diese ist gefordert wenn die Voraussetzung erfüllt sein daß sich nach dem Identitätssatz der notwendige Zusammenhang zwischen Gedanken nur unter der Bedingung läßt daß man jedes Mal wenn in Folgerung oder in einem Schlußsatz ein Gedanke einen Gegenstand auftaucht eben diesen Gegenstand mit und denselben Inhalt seiner Merkmale denkt.

Teil A : der Identitätssatz in traditionellen Logik

In der traditionellen Logik wird der durch die Formel

A ist A

wiedergegeben. In verneinender Form wird der symbolisch durch

nicht-A ist nicht-A

dargestellt. In einigen Lehrbüchern der formalen findet man auch folgende irreführende Formel für Identitätssatz:

  A = A   d.h. A ist identisch mit A. 

Aristoteles sagt dazu :"Alles ist in identisch und verschieden von Anderen" : A=A verschieden von non A.

Alle diese Formeln sind nur symbolische für den Identitätssatz und drücken nicht seinen methodologischen Inhalt aus. Das ist um so zu berücksichtigen als in der Geschichte der und auch noch in dieser Zeit Versuche werden das ganze Gesetz auf eine dieser zu reduzieren und der formalen Logik zu der Identitätssatz fordere davon auszugehen daß sowohl als auch Gedanken immer mit sich selbst seien.

Aus der weiteren Darlegung ist zu daß die abstrakte Identität an die sich die formale Logik durchaus eine Veränderung innerhalb der Identität zuläßt und die nur als etwas Momentanes betrachtet das aber verbindlich ist wenn von einem Gegenstand in bestimmten mittelbaren Schluss die Rede ist.

Teil B: der Identitätssatz in der Logik

Der Identitätssatz gehört zu den notwendigen in der mathematischen Logik. Der Satz wird bei:

  • identischen Umformungen

  • der Konstruktion von Definitionen

  • allen Fällen in denen eine Identifikation von Ausdrücken vorgenommen wird

Leibniz und Bertrand Russell gaben als wesentliche Charakteristik für die Identität das folgende Identitätsprinzip an:

<math> x = y := \wedge [ f(x) \to f(y) ] </math>

oder

<math> x = y := (\forall [ f(x) \supset f(y) ] </math>

Diese Formulierung bedeutet: die Gegenstände x y sind identisch wenn jede Eigenschaft f des einen von ihnen gleichzeitig des anderen Gegenstandes ist (siehe auch Leibniz-Gesetz )

In der Symbolik der mathematischen Logik kann man diese von Leibniz symbolisch durch

<math> A \to A </math>

wiedergeben wobei hier A eine Aussage und diese Formel "A impliziert A " Implikation ).

In der Literatur findet man auch Schreibweise:

<math> A \equiv A </math>

was als "A ist äquivalent A" wird. Im Prädikatenkalkül der mathematischen Logik wird Identitätssatz wie folgt beschrieben:

<math> \forall x (H(x) \to H(x))

In Worten: "für jeden Gegenstand x wahr daß wenn x die Eigenschaft H so x diese Eigenschaft hat"

Diese Fomel bedeutet: Für jeden Ausdruck mit der vollfreien Variablen x ist diese allgemeingültig. Aufgrund dieser Formel impliziert das Zutreffen beliebigen Eigenschaft H auf einen Gegenstand x das Zutreffen dieser Eigenschaft auf x d.h. Formel beinhaltet die Unveränderlichkeit des Gegenstandes in seinen Eigenschaften im Verlauf eines logischen Schlusses.




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