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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenMontag, 1. September 2014 

Injektivität


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Injektivität ( injektiv oder eineindeutig ) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion . Sie tritt auf wenn nie zwei Elemente auf das Gleiche abgebildet werden d.h. Funktion in beide Richtungen eindeutig ist. Eine Funktion ist also (als Relation gesehen) links- und rechtseindeutig.

Definition

Sei <math>f</math> eine Funktion von <math>X</math> <math>Y</math>. <math>f : X \to Y</math>

<math>f</math> ist injektiv wenn für alle <math>y \in Y</math> höchstens ein <math>x \in X</math> mit <math>f(x) = existiert.
( höchstens eins bedeutet eins oder keins aber nicht mehr als )

alternativ :

<math>f</math> ist injektiv wenn für alle <math>x_1 x_2 \in X</math> und <math>y Y</math> gilt: wenn <math>f(x_1) = y</math> und = y</math> dann <math>x_1 = x_2</math>.

Beispiele in unterschiedlicher Darstellungsform


Mengenkastendarstellung.


Mengenkastendarstellung.


Mengenwolkendarstellung.
 

Beispiele und Gegenbeispiele

Bezeichne <math>\mathbb{R}</math> die reellen Zahlen und <math>\mathbb{S}</math> das Intervall [0 ∞). Gegeben seien die Funktionen

f 1 : <math>\mathbb{R}</math> -> <math>\mathbb{R}</math> f 1 ( x ) = x ²
f 2 : <math>\mathbb{S}</math> -> <math>\mathbb{R}</math> f 2 ( x ) = x ²
f 3 : <math>\mathbb{R}</math> -> <math>\mathbb{S}</math> f 3 ( x ) = x ²
f 4 : <math>\mathbb{S}</math> -> <math>\mathbb{S}</math> f 4 ( x ) = x ²

Dann ist

f 1 nicht injektiv nicht surjektiv nicht bijektiv
f 2 injektiv nicht surjektiv nicht bijektiv
f 3 nicht injektiv surjektiv nicht bijektiv
f 4 injektiv surjektiv bijektiv

Vergleich

Surjektivität Bijektivität



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