Injektivität

Injektivität ( injektiv oder eineindeutig ) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion . Sie tritt auf wenn nie zwei Elemente auf das Gleiche abgebildet werden d.h. Funktion in beide Richtungen eindeutig ist. Eine Funktion ist also (als Relation gesehen) links- und rechtseindeutig.

Definition

Sei <math>f</math> eine Funktion von <math>X</math> <math>Y</math>. <math>f : X \to Y</math>

<math>f</math> ist injektiv wenn für alle <math>y \in Y</math> höchstens ein <math>x \in X</math> mit <math>f(x) = existiert.
( höchstens eins bedeutet eins oder keins aber nicht mehr als )

alternativ :

<math>f</math> ist injektiv wenn für alle <math>x_1 x_2 \in X</math> und <math>y Y</math> gilt: wenn <math>f(x_1) = y</math> und = y</math> dann <math>x_1 = x_2</math>.

Beispiele in unterschiedlicher Darstellungsform

Mengenkastendarstellung.	Mengenkastendarstellung.
Mengenwolkendarstellung.

Beispiele und Gegenbeispiele

Bezeichne <math>\mathbb{R}</math> die reellen Zahlen und <math>\mathbb{S}</math> das Intervall [0 ∞). Gegeben seien die Funktionen

f ₁ : <math>\mathbb{R}</math> -> <math>\mathbb{R}</math> f ₁ ( x ) = x ²

f ₂ : <math>\mathbb{S}</math> -> <math>\mathbb{R}</math> f ₂ ( x ) = x ²

f ₃ : <math>\mathbb{R}</math> -> <math>\mathbb{S}</math> f ₃ ( x ) = x ²

f ₄ : <math>\mathbb{S}</math> -> <math>\mathbb{S}</math> f ₄ ( x ) = x ²

Dann ist

f ₁ nicht injektiv nicht surjektiv nicht bijektiv

f ₂ injektiv nicht surjektiv nicht bijektiv

f ₃ nicht injektiv surjektiv nicht bijektiv

f ₄ injektiv surjektiv bijektiv

Vergleich

Bücher zum Thema Injektivität

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