Skalarprodukt

Ein Skalarprodukt (auch inneres Produkt ) ist eine Funktion die zwei Elementen eines Vektorraums ein Element des dem Vektorraum zugrundeliegenden Skalarkörpers zuordnet.

Historisch zuerst wurde das Skalarprodukt für Euklidischen Raum eingeführt. Hier gilt die folgende Definition: Skalarprodukt zweier Vektoren a und b erechnet sich aus dem Produkt der der beiden Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels b\right)</math>. Es gilt also die Formel:

<math>a\cdot b:=\left|a\right|\ \left|b\right|\ \cos\angle\left(a b\right)</math>

Mit Hilfe des Skalarproduktes ist es die Länge eines Vektors und den Winkel zwei Vektoren zu berechnen.

Ein Vektorraum auf dem ein Skalarprodukt ist heißt Innenproduktraum oder Prähilbertraum . Innenprodukträume verallgemeinern den Euklidischen Raum ; sie ermöglichen damit die Anwendung geometrischer auf abstrakte Strukturen.

Inhaltsverzeichnis

1 Abgrenzung zu anderen Produkten 2 Notation 3 Motivation: Skalarprodukt im Euklidischen Raum 4 Komponentenweise Berechnung 5 Formale Definition 6 Beispiel 7 Norm und Winkel 8 Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen 9 Komponentenweise Berechnung

Abgrenzung zu anderen Produkten

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K . Dann ist das Skalarprodukt eine Funktion von V × V nach K .

Demgegenüber ist das äußere Produkt auch skalare Multiplikation genannt das in jedem Vektorraum definiert muss eine Funktion von K × V nach V .

Wenn der Vektorraum die Dimension 3 hat kann man ferner ein Vektorprodukt auch Kreuzprodukt genannt definieren das eine Funktion von V × V nach V ist. (In höherdimensionalen Räumen hat man Verallgemeinerung des Kreuzprodukts das dann mehr als Vektoren verknüpft.)

Das Spatprodukt in einem dreidimensionalen Raum schließlich entsteht Verknüpfung von Skalar- und Vektorprodukt; es ist dreistellige Funktion von V × V × V nach K .

Notation

In diesem Artikel stellen wir Vektoren als beliebiger Vektorräume zur Unterscheidung von Skalaren einheitlich Fettdruck dar.

Das Skalarprodukt wird mit einem Punkt Multiplikationszeichen geschrieben: x·y . In der französischen Literatur ist ein Punkt gebräuchlich: x.y . In der Funktionalanalysis oder wann immer sonst die Rolle Skalarprodukts als eine Funktion betont werden soll man die Notation < x y >. Davon abgeleitet ist die Bra-Ket-Notation die in der Quantenmechanik gerne verwendet wird: < x | y >.

Wie bei der normalen Multiplikation kann Multiplikationszeichen auch ganz weggelassen werden wenn keine auftreten können; das ist insbesondere in Texten Fall in denen Vektoren durch Vektorpfeile durch oder durch Unterstreichen kenntlich gemacht sind und nicht mit Skalaren verwechselt werden können:

x·y = xy ist ein Skalarprodukt

a x dagegen ist ein äußeres Produkt.

Motivation: Skalarprodukt im Euklidischen Raum

Das Skalarprodukt ist ursprünglich im Rahmen analytischen Geometrie im Euklidischen Raum eingeführt worden. Um die geometrische Bedeutung Skalarprodukts zu erklären stellen wir uns ungefähr den Standpunkt der Schulmathematik und betrachten den affinen Raum mit einem kartesischen Koordinatensystem.

Ein Punkt A besitze die Koordinaten ( a ₁ a ₂ a ₃ ). Diese Koordinaten kann man auch als eines Ortsvektors <math>\vec{OA}</math> auffassen der vom Ursprung O nach A zeigt. Der Abstand des Punktes A vom Ursprung oder äquivalent die Länge Vektors <math>\vec{OA}</math> ist nach dem Satz des Pythagoras

<math>\overline{OA} = \sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}</math>.

<math>\vec{OA}\cdot\vec{OB} := {a_1}{b_1}+{a_2}{b_2}+{a_3}{b_3}</math>.

<math>\overline{OA} = \sqrt{\vec{OA}\cdot\vec{OA}}</math>

<math>|a| = \sqrt{a^2}</math>

Man rechnet leicht nach dass das eingeführte Skalarprodukt tatsächlich die typischen Eigenschaften einer Verknüpfung hat: es gelten insbesondere das Distributivgesetz damit auch die binomischen Formeln. Wir betrachten ein Dreieck ABC im affinen Raum und finden unter der binomischen Formel:

<math>\overline{AC}^2 = \vec{AC}^2 = {(\vec{AB}+\vec{BC})}^2 = \vec{AB}^2 2 \vec{AB}\vec{BC}+\vec{BC}^2 = \overline{AB}^2+ 2 \vec{AB}\vec{BC}+ \overline{BC}^2</math>.

<math>\vec{AB}\vec{BC}=\overline{AB}\ \overline{BC}\cos\angle ABC</math>.

Komponentenweise Berechnung

Hier fehlt ein Absatz der mit den der Schulmathematik aus dem vorigen Absatz ableitet man das Skalarprodukt im Euklidischen Raum als der Produkte der Vektorkomponenten berechnet. Siehe einstweilen einschlägige Kapitel am Ende der nun folgenden Darstellung.

Formale Definition

Um den Begriff des Skalarprodukts auf Räume zu übertragen abstrahiert man aus den Überlegungen einige Minimalvoraussetzungen die ein skalares Produkt Vektoren besitzen muss um im Fall des Raums mit dem naiv eingeführten Skalarprodukt zusammenzufallen.

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K der reellen oder komplexen Zahlen. Eine Abbildung <· ·>: V × V → K heißt Skalarprodukt wenn für alle x y z aus V und für alle a aus K die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt sind:

• < x x > ≥ 0 (positiv);
• aus < x x > = 0 folgt x = 0 ( definit );
• <math>\langle\mathbf{x} \mathbf{y}\rangle = \overline{\langle\mathbf{y} \mathbf{x}\rangle}</math> ( Hermitesch );
• < x a y + z > = a < x y >+< x z > ( linear ).

Bemerkungen:

• Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet komplexe Konjugation . In einem reellen Vektorraum (wenn also K = R ) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung; Skalarprodukt ist dann nicht nur Hermitesch sondern symmetrisch.
• Aus Bedingungen 3 und 4 folgt < a x + z y > = <math>\overline{a}</math>< x y > + < z y >; das Skalarprodukt ist also nicht nur im zweiten Argument sondern auch semilinear im ersten Argument insgesamt also sesquilinear ; über einem reellen Vektorraum ist das sogar bilinear .
• Das Skalarprodukt über einem komplexen Vektorraum wird auch als linear im ersten Argument und damit semilinear im zweiten definiert. Man muss also aufpassen ob einem gegeben Text < a x y > = a < x y > oder < a x y > = <math>\overline{a}</math>< x y > gilt.

Beispiel

Ein Beispiel für einen Innenproduktraum der Euklidischer Raum ist ist der Raum aller Funktionen von einem reellen Intervall [ a b ] nach R mit dem Skalarprodukt

<math>\langle f g\rangle = \int_a^b p(x) f(x) {\rm d}x</math>

Norm und Winkel

Das Skalarprodukt induziert eine Norm

<math>\|\mathbf{x}\| := \sqrt{\langle \mathbf{x} \mathbf{x} \rangle}.</math>

Bemerkung: der Beweis dass das so definierte tatsächlich eine Norm ist also insbesondere die Dreiecksungleichung erfüllt erfordert als nichttrivialen Zwischenschritt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung .

Die Norm kann man anschaulich als Länge eines Vektors verstehen. Zumindest in geometrischem schreibt man die Norm üblicherweise mit einfachen Betragszeichen

<math>|\mathbf{x}| := \|\mathbf{x}\| = \sqrt{\langle \mathbf{x} \mathbf{x}

Unter Verwendung der Norm kann man Skalarprodukt beliebiger Vektoren

xy = | x | | y | cos φ

Dabei verwendet man wiederum die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung die sicherstellt dass -| x | | y | ≤ xy ≤ | x | | y | was die Voraussetzung dafür ist dass den Quotienten xy /| x || y | als einen Cosinus interpretieren.

Diese geometrische Deutung legt es nahe deren Skalarprodukt Null ist senkrecht oder orthogonal zueinander zu nennen. Orthogonale Einheitsvektoren heißen orthonormal .

Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen

Mit der durch das Skalarpodukt induzierten ist jeder Innenproduktraum ein normierter Raum damit auch ein metrischer Raum damit auch ein topologischer Raum ; er besitzt also sowohl eine geometrische auch eine topologische Struktur.

Ein vollständiger Innenproduktraum heißt Hilbertraum . Ein Banachraum auf dem man ein Skalarprodukt definiert ein Hilbertraum.

Eine Verallgemeinerung von Innenprodukträumen sind Bilinearräume denen das Skalarprodukt ersetzt ist durch eine die nicht notwendig positiv definit ist. Ein Beispiel ist der Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie.

Bilinearräume erlauben auch die Betrachtung anderer außer den reellen oder komplexen Zahlen. Die der Bilinearräume ist eng verbunden mit der der quadratischen Formen (homogene Polynome vom Grad 2).

Komponentenweise Berechnung

Ausgehend von den vorstehenden Überlegungen und arbeitet sich die lineare Algebra zu der Erkenntnis vor dass man Vektor als Linearkombination aus orthonormalen Basisvektoren darstellen kann

x = x ₁ e ₁ + x ₂ e ₂ + ...

<math>\langle\mathbf{x} \mathbf{y}\rangle = \mathbf{xy} = \overline{x_1} y_1 \overline{x_2} y_2 + \ldots</math>

Im dreidimensionalen Euklidischen Raum berechnet man das Skalarprodukt von zwei Spaltenvektoren zum Beispiel

<math>

 \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}  

 \begin{pmatrix}-7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}  

Bei unendlichdimensionalen Räumen muss man zwischen Orthonormalbasis und einer Basis im Sinne der linearen Algebra unterscheiden zur Unterscheidung auch Hamelbasis genannt wird.

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